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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 03.09.2006 | | Autor: | Miaka |
| Aufgabe | | a.) In einer Marktanalyse wird die Wirkung der drei Farben Rot, Grün und Blau erhoben, wobei auch Mehrfachnennungen möglich sind. 70% der Befragten geben Rot an, 60% Grün, 40% sowohl Rot und Grün an, 30% sowohl Grün als auch Blau, ebenfalls 30% Rot und Blau, 20% alle drei Farben. Wie gross ist der Anteil der Befragten, die wenigstens einmal Blau angegeben haben? |
Also, ich habe einen Venn Diagramm gezeichnet... Wir hatten die Lösung bekommen, aber ich weiss nicht, wie es dazu gekommen ist.
Die Lösung ist 50%. Ich weiss nicht den Lösungsweg.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
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Hallo Miaka,
in der Frage ist sicher gemeint, "wieviele haben blau genannt", oder?
Zunächst kannst Du ja sagen, dass alle die blau genannt haben in einer der folgenden Mengen sind
A=Menge der Leute, die nur blau und nix anderes genannt haben
B=Menge der Leute, die nur Blau und Grün genannt haben
C=Menge der Leute, die Blau, Grün und Rot genannt haben
D=Menge der Leute, die nur Blau und Rot genannt haben
Wenn | A | die Anzahl der Leute ist, die zur Menge A gehören und | B | bzw. | C |, | D| entsprechend, dann weisst Du, dass Du die folgende Zahl suchst:
| A | + | B | + | C | + | D |
Das gilt deshalb, weil alle Personen, die blau genannt haben in genau einer der Mengen enthalten sind. Es gibt nämlich keine andere Kombination, die jemand angegeben haben könnte, die auch blau enthält und auf der anderen Seite gibt es auch keine Person, die in zwei der Mengen gleichzeitig drin sein kann. Die Mengen sind also disjunkt. Nur unter diesen beiden Voraussetzungen (jedes Element gehört zu einer der Mengen und kein Element gehört zu mehr als einer Menge) kannst Du das so schreiben wie oben.
In der Aufgabenstellung hast Du folgende Angaben bekommen:
30% sowohl Grün als auch Blau
das ist also eine Aussage über die Menge B vereinigt mit C, denn auch die Personen, die alle 3 Farben angegeben haben, haben ja blau und grün gewählt. Wenn Du Prozentangaben hast, kannst Du ja einfach annehmen, dass es insgesamt 100 Leute wären und 30 davon zu B vereinigt mit C gehören, also haben wir
| B [mm] \cup [/mm] C |= 30
und Du hast auch die Aussage, wieviele alle 3 Farben angegeben haben, nämlich 20%, also
| C |= 20
da Du aber weisst, dass unsere obigen Hilfsmengen alle disjunkt sind und damit keine gemeinsamen Elemente enthalten, ist
| B [mm] \cup [/mm] C | = | B | + | C | = 30
und weil Du die Größe von C ja hast, muss | B |=10 sein
Jetzt fehlt uns noch die Größen von A und C.
Du hast als nächstes:
"ebenfalls 30% Rot und Blau" also gilt wie oben (weil darin ja auch wieder die Personen enthalten sind, die alle drei Farben gewählt haben):
| D [mm] \cup [/mm] C | = 30
und mit der gleichen Argumentation gilt
| D [mm] \cup [/mm] C |= | D | + | C |
also ist auch | D | = 10
Jetzt hast Du also schon die Größen der Mengen B, C und D. Dir fehlt also noch die Größe von A. Du kannst in der Aufgabe sicher davon ausgehen, dass jeder Teilnehmer mindestens eine Farbe angegeben hat (das ist nicht selbverständlich, aber die Aufgabe würde sonst keinen Sinn ergeben). Wenn Du das beachtest, dann weisst, Du
| A [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. grün angegeben haben" [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. rot angegeben haben" | = 100
und die beiden Mengen "Menge aller Teilnehmer die u.a. grün angegeben haben" und "Menge aller Teilnehmer die u.a. rot angegeben haben" kannst Du wie oben berechnen.
Hier musst Du aber aufpassen, die beiden Mengen sind nämlich nicht mehr elementfremd. Sie enthalten ja beide die Menge der Personen, die sowohl grün als auch rot angegeben haben als Schnittmenge. Diese Schnittmenge darfst Du natürlich nicht doppelt zählen.
So kommst Du letztendlich auf die Größe der Vereinigungsmenge
| "Menge aller Teilnehmer die u.a. grün angegeben haben" [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. rot angegeben haben" |
und diese Vereinigungsmenge ist glücklicherweise disjunkt zur Menge A und damit gilt also:
| A [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. grün angegeben haben" [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. rot angegeben haben" | = | A | + | "Menge aller Teilnehmer die u.a. grün angegeben haben" [mm] \cup [/mm] "Menge aller Teilnehmer die u.a. rot angegeben haben" |
Ich hoffe das hilft Dir so weiter.
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