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| Aufgabe | Aufgabe 4 (1+1 Punkte)
Seien f : Y [mm] \to [/mm] Z und g : X [mm] \to [/mm] Y.
Zeigen Sie:
(a) Die Komposition f o g zweier injektiver Abbildungen f und g ist wieder injektiv.
(b) Die Komposition f o g zweier surjektiver Abbildungen f und g ist wieder surjektiv.
Bemerkung: Aus (a) und (b) folgt: Die Komposition f o g zweier bijektiver Abbildungen f und g ist wieder bijektiv. |
Meiner Erfahrung nach sind solche "Bemerkungen" gleichzeitig Hinweise, wie die Aufgabe zu loesen ist , allerdings weiss ich nicht genau wie ich das machen soll.
Ich hatte zuerst den Ansatz ueber die Maechtigkeit der Definitionsmengen zu argumentieren.
Wenn also die funktion
g: X [mm] \to [/mm] Y
injektiv seien soll. Muss gelten.
Y [mm] \ge [/mm] X
also auch fuer:
f: Y [mm] \to [/mm] Z
muss gelten:
Z [mm] \ge [/mm] Y
also Insgesamt:
Z [mm] \ge [/mm] Y [mm] \ge [/mm] X
folgt:
Z [mm] \ge [/mm] X
ist das korrekt? Und als Beweis ausreichend.
Fuer surjektiv gilt das dann natuerlich andersrum.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo robinschmuhu und erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Aufgabe 4 (1+1 Punkte)
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> Seien f : Y [mm]\to[/mm] Z und g : X [mm]\to[/mm] Y.
> Zeigen Sie:
> (a) Die Komposition f o g zweier injektiver Abbildungen f
> und g ist wieder injektiv.
> (b) Die Komposition f o g zweier surjektiver Abbildungen f
> und g ist wieder surjektiv.
>
> Bemerkung: Aus (a) und (b) folgt: Die Komposition f o g
> zweier bijektiver Abbildungen f und g ist wieder bijektiv.
> Meiner Erfahrung nach sind solche "Bemerkungen"
> gleichzeitig Hinweise, wie die Aufgabe zu loesen ist ,
> allerdings weiss ich nicht genau wie ich das machen soll.
> Ich hatte zuerst den Ansatz ueber die Maechtigkeit der
> Definitionsmengen zu argumentieren.
>
> Wenn also die funktion
>
> g: X [mm]\to[/mm] Y
>
> injektiv seien soll. Muss gelten.
>
>
> Y [mm]\ge[/mm] X
Was soll das bedeuten? Eine Menge ist größer(gleich) einer anderen?!
Meinst du die Mächtigkeiten der Mengen?
>
> also auch fuer:
>
> f: Y [mm]\to[/mm] Z
>
> muss gelten:
>
> Z [mm]\ge[/mm] Y
>
> also Insgesamt:
>
> Z [mm]\ge[/mm] Y [mm]\ge[/mm] X
>
> folgt:
>
> Z [mm]\ge[/mm] X
>
> ist das korrekt? Und als Beweis ausreichend.
Wieso sollte aus der Tatsache, dass die Mächtigkeit des Wertebereiches größer(gleich) der des Definitionsbereiches ist, die Injektivität folgen?
Sinn solcher Aufgaben ist es doch, die Definitionen von "inj., surj." zu verinnerlichen und damit jonglieren zu lernen.
Zu zeigen ist, dass [mm]f\circ g:X\to Z[/mm] injektiv ist unter der Vor., dass [mm]f,g[/mm] inj. sind.
Zu zeigen ist also, dass für [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)[/mm] folgt, dass [mm]x_1=x_2[/mm] ist.
Nun ist [mm]f\circ g(x)=f(\red{g(x)})[/mm]
Nun nutze die Injektivität von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm], um aus [mm]f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)[/mm] zu folgern, dass [mm]x_1=x_2[/mm] ist.
>
> Fuer surjektiv gilt das dann natuerlich andersrum.
Nein!
Gehe auch dort über die Definition!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Also zeige ich
wenn g injektiv ist muss gelten
[mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] X
[mm] g(x_{1}) [/mm] = [mm] g(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
da f o g = f(g(x)) gilt und die funktion f injektiv ist muss gelten:
[mm] f(g(x_{1})) [/mm] = [mm] f(g(x_{2})) [/mm] unter der bedingug das [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] ist.
Richtig?
Doch jetzt fehlt mir die Bedingung fuer surjektive Funktionen:
gilt das wenn g surjektiv ist und [mm] x_{1},x_{2} \in(X) [/mm] das [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] seien muss?
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Hallo nochmal,
> Also zeige ich
>
> wenn g injektiv ist muss gelten
>
> [mm]x_{1},x_{2} \in[/mm] X
>
> [mm]g(x_{1})[/mm] = [mm]g(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> da f o g = f(g(x)) gilt und die funktion f injektiv ist
> muss gelten:
>
> [mm]f(g(x_{1}))[/mm] = [mm]f(g(x_{2}))[/mm] unter der bedingug das [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]x_{2}[/mm] ist.
>
> Richtig?
Da sind einige richtige Gedanken dabei, es fehlt aber an Struktur:
Es ist [mm]f\circ g:X\to Z[/mm], also ist zu zeigen, dass für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)[/mm] folgt, dass [mm]x_1,x_2[/mm] gilt.
Nehmen wir also bel. [mm]x_1,x_2\in X[/mm] her mit [mm]f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)[/mm]
Dh. [mm]f(g(x_1))=f(g(x_2))[/mm]
Nun ist [mm]g(x_1), g(x_2)\in Y[/mm] und [mm]f[/mm] inj., dh. es folgt aus [mm] $f(g(x_1))=f(g(x_2))$ [/mm] dann [mm] $g(x_1)=g(x_2)$
[/mm]
Weiter ist [mm] $g:X\to [/mm] Y$ injektiv, damit folgt aus [mm] $g(x_1)=g(x_2)$, [/mm] dass [mm] $x_1=x_2$ [/mm] sein muss.
Wir haben also gezeigt, dass für bel. [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)$ [/mm] folgt, dass [mm] $x_1=x_2$ [/mm] ist, dh. [mm] $f\circ [/mm] g$ ist injektiv
>
> Doch jetzt fehlt mir die Bedingung fuer surjektive
> Funktionen:
> gilt das wenn g surjektiv ist und [mm]x_{1},x_{2} \in(X)[/mm] das
> [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm] seien muss?
Wie lautet die Definition für "surjektiv" ?
Diese Definitionen musst du verinnerlichen, Injektivität und Surjektoiität sind zentrale Konzepte!
Es ist [mm] $f\circ g:X\to [/mm] Z$
Du sollst zeigen, dass [mm] $f\circ [/mm] g$ surj. ist.
Dh. du musst zu beliebig vorgelegtem [mm] $z\in [/mm] Z$ ein [mm] $x\in [/mm] X$ angeben mit [mm] $f\circ [/mm] g(x)=z$
Sei also [mm] $z\in [/mm] Z$ beliebig. Dann weißt du dass [mm] $f:Y\to [/mm] Z$ surj. ist, also existiert ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit ...
Hangel dich da mal weiter durch ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Stoecki |
>> Meiner Erfahrung nach sind solche "Bemerkungen" gleichzeitig Hinweise, wie die Aufgabe zu loesen ist , allerdings weiss ich nicht genau wie ich das machen soll.
Das ist hier wirklich nur eine Bemerkung. Man braucht es nicht für den Beweis
Als Beweis reicht das nicht aus, was du geschrieben hast. überleg dir folgendes zur injektivität. wie sieht die menge g(X):={y [mm] \in [/mm] Y | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : g(x) = y} im verhältnis zu Y aus? Es ist eine teilmenge. was bedeutet das für das urbild von f? gibt es etwas, was die injektivität stören kann? wenn du das verstanden hast, geht die surjektivität ähnlich
gruß bernhard
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