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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mo 24.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Mal ein bisschen Mengenlehre mit Aussagen, die so elementar scheinen, daß ich sie kaum beweisen kann:
Seien A und B zwei Mengen. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:
(1)A Teilmenge B
(2)[mm]A\cap B=B[/mm]
(3)[mm]A\cup B=B[/mm]
(4)[mm]A\setminus B=\emptyset[/mm]
(5)Es gibt eine Menge C, sodaß [mm]B=A\cup C[/mm]
(6)Es gibt eine Menge D mit [mm]A=B\cap D[/mm] |
Ich versuche mich mal!
[mm](1)\Rightarrow (2):[/mm]
Sei A (echte)Teilmenge von B.
[mm]\Rightarrow\forall x: x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]
[mm]\Rightarrow A\cap B=A[/mm], egal, ob A echte Teilmenge oder identisch mit B ist.
[mm](2)\Rightarrow (3):[/mm]
Sei [mm]A\cap B=A[/mm].
[mm]\Rightarrow A\subset B[/mm] oder [mm]A\subseteq B[/mm]
In beiden Fällen folgt m.E. [mm]B\cup A=B[/mm].
[mm](3)\Rightarrow (4):[/mm]
Sei [mm]A\cup B=B[/mm]
[mm]A\setminus=\left\{x:(x\in A)\text{und} (x\in B)\right\}[/mm]
[mm]A\cup B=\left\{x:(x\in A)\text{oder} (x\in B)\right\}=B[/mm]
[mm]\Rightarrow A\subset\text{oder} A\subseteq B[/mm]
[mm]A\setminus B=\emptyset[/mm]
[mm](4)\Rightarrow (5):[/mm]
Sei [mm]A\setminus B=\emptyset[/mm]
[mm]\Rightarrow A\subseteq B\text{oder}A\subset B[/mm]
Wenn [mm]A\subseteq B, C:=\emptyset\Rightarrow B=A\cup\emptyset=A[/mm]
Wenn [mm]A\subset B, C:=B\setminus A\Rightarrow B=A\cup B\setminus A[/mm]
[mm](5)\Rightarrow (6):[/mm]
Setze D=A oder D=B
[mm](6)\Rightarrow (1):[/mm]
Ist D=A oder D=B folgt das sofort.
Ist da was von korrekt??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 25.10.2011 | | Autor: | gnom347 |
Du Schreibst eigendlich immer nur hin was zu zeigen ist.
Du zeigst die Folgerungen die du zeigen möchtest jedoch nie.
> Sei A (echte)Teilmenge von B.
> [mm]\Rightarrow\forall x: x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A\cap B=A[/mm], egal, ob A echte Teilmenge oder
> identisch mit B ist.
Das stimmt zwar, aber du zeigst es eben garnicht
Du musst ja gerade zeigen das [mm] A\cap B=A[/mm] gilt, indem du [mm]\forall x: x\in A\Rightarrow x\in B[/mm] (p) verwendest.
Also Du möchtest eine Mengengleichheit zeigen. Dies kann man machen indem man zeigt das alle elemente aus der einen Menge auch in der anderen sind und, umgekehrt. Also in diesem fall zeigst du:
1. sei x [mm] \in A\cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
2. sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in A\cap [/mm] B
zu 1.
x [mm] \in A\cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
zu2.
sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (wegen (p)) x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in A\cap [/mm] B
Damit ist die erste folgerung gezeigt.
(In der Aufgabenstellung steht Übrigens ein B wo ein A hin muss sonst stimmt die Folgerung nicht. Ist aber warscheinlich ein Tippfehler weil Du es weiter unten richtig stehen hast.)
So viel Glück bei den anderen Folgerungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Di 25.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke, daß Du es erläutert hast.
Ich versuche jetzt
[mm](2)\Rightarrow (3):[/mm]
Sei also [mm]A\cap B=A[/mm].
Zu zeigen ist [mm]A\cup B=B[/mm].
"[mm]\subseteq[/mm]":
Sei [mm]x\in (A\cup B)\Rightarrow x\in A\vee x\in B[/mm]
Wegen [mm]A=A\cap B[/l]\Rightarrow x\in A\cap B\vee x\in B\Rightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in B)[/mm]
Und daraus folgt, daß auf jeden Fall [mm]x\in B[/mm], da zwar aufgrund des "Oder" nur eine der Aussagen stimmen müsste, aber sogar beide Aussagen stimmen.
"[mm]\supseteq[/mm]":
Sei [mm]x\in B\Rightarrow x\in B\vee x\in A\Rightarrow x\in (B\cup A)[/mm]
Ist das so okay?
LG
mikexx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Di 25.10.2011 | | Autor: | gnom347 |
Ja scheint alles zu stimmen.
Sieht gut aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 25.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Dann habe ich jetzt verstanden, wie man solche Aussagen beweist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besten Dank an Dich!
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