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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe eine Frage:
Wenn eine Menge M nach unten beschränkt ist und
-M :={m [mm] \in \IR [/mm] | -m [mm] \in [/mm] M} wie beweise ich dann, dass -inf M = sup(M) ?
Ich habe den Beweis in der Vorlesung leider nicht verstanden und dieser wurde nicht verschriftlicht
also ich kann es wörtlich nachvollziehen: denn wenn -m [mm] \in [/mm] M , dann sind die Elemente der Menge ja alle negativ und wir wissen ja das die Menge durch inf M nach unten beschränkt ist. würden wir das nun umdrehen(also Vorzeichenwechsel), also m [mm] \in [/mm] M dann wäre die Menge ja durch sup(M) nach oben beschränkt
das sagt ja auch diese Gleichung aus:
-inf M = sup(M)
aber wie kann ich das mathematisch beweisen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe eine Frage:
> Wenn eine Menge M nach unten beschränkt ist und
> -M :={m [mm]\in \IR[/mm] | -m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M} wie beweise ich dann, dass
> -inf M = sup(M) ?
> Ich habe den Beweis in der Vorlesung leider nicht
> verstanden und dieser wurde nicht verschriftlicht
> also ich kann es wörtlich nachvollziehen: denn wenn -m
> [mm]\in[/mm] M , dann sind die Elemente der Menge ja alle negativ
> und wir wissen ja das die Menge durch inf M nach unten
> beschränkt ist. würden wir das nun umdrehen(also
> Vorzeichenwechsel), also m [mm]\in[/mm] M dann wäre die Menge ja
> durch sup(M) nach oben beschränkt
> das sagt ja auch diese Gleichung aus:
> -inf M = sup(M)
>
> aber wie kann ich das mathematisch beweisen ?
Schreibe mal die Definition des Infimums einer Menge sauber auf. Dann multipliziere die Ungleichung mit (-1), und schaue mal, was du dann dort stehen hast.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Das Infimum ist die kleinste untere Schranke also:
eine Menge ist nach unten beschränkt wenn es ein c [mm] \in \IR [/mm] gibt sodass für alle x [mm] \in [/mm] M gilt: c [mm] \le [/mm] x
multipliziere ich das mit -1 erhalte ich:
-c [mm] \le [/mm] -x
= inf(-M) [mm] \le [/mm] -x
da x=-m ersetze ich also:
inf(-M) [mm] \le [/mm] m
doch wie bringe ich jetzt das Supremum ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Das Infimum ist die kleinste untere Schranke also:
> eine Menge ist nach unten beschränkt wenn es ein c [mm]\in \IR[/mm]
> gibt sodass für alle x [mm]\in[/mm] M gilt: c [mm]\le[/mm] x
> multipliziere ich das mit -1 erhalte ich:
> -c [mm]\le[/mm] -x
> = inf(-M) [mm]\le[/mm] -x
>
> da x=-m ersetze ich also:
> inf(-M) [mm]\le[/mm] m
>
> doch wie bringe ich jetzt das Supremum ein?
Multipliziere [mm] $c\le [/mm] x$ mal sauber mit (-1), das ergibt nämlich nicht deine Lösung.
Schaue dann mal, was du bei einem Supremum an die Schranke c forderst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ist es ausmultipliziert vielleicht
(-1)*c [mm] \le [/mm] (-1)*x
c [mm] \ge [/mm] x ?
stimmt das so?
und c [mm] \ge [/mm] x ist ja die Bedingung für ein supremum..
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ist es ausmultipliziert vielleicht
> (-1)*c [mm]\le[/mm] (-1)*x
> c [mm]\ge[/mm] x ?
> stimmt das so?
> und c [mm]\ge[/mm] x ist ja die Bedingung für ein supremum..
> stimmt das so?
Du musst etwas mehr Input geben.
Sei c das Infimum der Menge M.
Dann gilt für alle x aus M:
c<x
Nun multipliziere diese Ungleichung mit (-1), dann bekommst du
-c>-x
Und -c=-inf(M), also
-inf(M)>-x
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke.
1.aber wieso dreht sich das Vorzeichen wenn ich mit (-1) multipliziere?
2. kann ich dann im nächsten Schritt -inf (M) durch sup(-M) ersetzen? so dass
sup(-M)>-x folgt? war das dann schon der vollständige Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay danke.
> 1.aber wieso dreht sich das Vorzeichen wenn ich mit (-1)
> multipliziere?
Das ist Stoff der Mittelstufe, teste das doch mal mit Zahlen.
2>1, aber -2>-1 wäre eine Falschaussage.
> 2. kann ich dann im nächsten Schritt -inf (M) durch
> sup(-M) ersetzen? so dass
> sup(-M)>-x folgt? war das dann schon der vollständige
> Beweis?
Wenn du das ganze mit ein wenig "Erklärtext" füllst, könnte das etwas werden.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ups stimmt ja..danke 
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