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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | | Seien A1, A2, A3 und B1, B2, B3 Mengen. Beweisen Sie: Wenn [mm] A_{1} \subseteq B_{1} [/mm] , [mm] A_{2} \subseteq B_{2} [/mm] und [mm] A_{3} \subseteq B_{3} [/mm] , dann gilt auch : [mm] ((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3})\subseteq ((B_{1}\cup B_{2})\cup B_{3}) [/mm] |
Hallo Zusammen :) ,
Ich versuch das oben stehende zu beweisen und bis auf den Ansatz bin ich nicht weit gekommen , ich glaube ich muss ein x [mm] \in ((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3}) [/mm] nehmen und das wiederum bedeutet doch dass x [mm] \in A_{3} [/mm] oder x [mm] \in (A_{1} [/mm] oder [mm] A_{2}) [/mm] , richtig ? Aber wie mache ich weiter ? ...
Danke euch für eure Antworten , Tanye
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Hallo tanye,
> Seien A1, A2, A3 und B1, B2, B3 Mengen. Beweisen Sie: Wenn
> [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] , [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm] und [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm]
> , dann gilt auch : [mm]((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3})\subseteq ((B_{1}\cup B_{2})\cup B_{3})[/mm]
>
> Hallo Zusammen :) ,
>
> Ich versuch das oben stehende zu beweisen und bis auf den
> Ansatz bin ich nicht weit gekommen , ich glaube ich muss
> ein x [mm]\in ((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3})[/mm] nehmen und das
> wiederum bedeutet doch dass x [mm]\in A_{3}[/mm] oder x [mm]\in (A_{1}[/mm]
> oder [mm]A_{2})[/mm] , richtig ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber wie mache ich weiter ? ...
Nun, weiter aufdröseln, die Vereinigung ist ja assoziativ, du kannst dir Klammern also weglassen.
Ergo folgt, dass [mm]x\in A_1 \ \text{oder} \ x\in A_2 \ \text{oder} \ x\in A_3[/mm]
Nun nutze aus, dass [mm]A_i\subseteq B_i[/mm] für [mm]i=1,2,3[/mm] ist ...
>
> Danke euch für eure Antworten , Tanye
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
Hi ! Danke für deine Antwort :) Bis hierhin ist mir alles klar . Meinst du am Ende die Antisymmetrie ? Sprich aus A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A folgt A = B ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mo 17.10.2011 | | Autor: | ggg |
Hi, vielleicht hilft dir folgende Beziehung weiter, wenn er sie besprochen habt:
[mm] A\subseteq B\gdw A\cup [/mm] B =B
Ansonsten mah´ch dir folgendes klar:
[mm] A=>B\gdw A\subseteq [/mm] B
[mm] A_{1}vA_{2}=>B_{1}vB_{2} \gdw A_{1}\cup A_{2}\subseteq B_{1}\cup B_{2}
[/mm]
...
ist etwas unsauber geschrieben, aber sollte so klar sein
lg
ggg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
Ne also dank für eure Antworten aber ich komm zu keinem schlüssigen , kontinuierlich durchgerechneten Ergebnis ... Ich hab noch einige andere die alle in diesem Muster sind könnte nicht einer diese eine Aufgabe vielleicht vorrechnen ? Das würde echt sehr helfen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tanye,
also eine Lösungsmaschine ist dieses Forum nicht.
Mit [mm] $A_i\subseteq B_i$ [/mm] für $i=1,2,3$ meinte schachuzipus nicht die Antisymmetrie von [mm] $\subseteq$, [/mm] sondern schlichtweg [mm] $A_1\subseteq B_1$, $A_2\subseteq B_2$ [/mm] und [mm] $A_3\subseteq B_3$. [/mm] Das ist ja schließlich in der Aufgabenstellung vorausgesetzt.
Wie von dir erkannt, sollte man mit "Sei [mm] $x\in(A_1\cup A_2)\cup A_3$" [/mm] starten. Wo wollen wir eigentlich hin, also was ist zu zeigen?
Mein Vorschlag zum Weitermachen: "Nach Definition von [mm] $\cup$ [/mm] folgt aus [mm] $x\in(A_1\cup A_2)\cup A_3$, [/mm] dass [mm] $x\in A_1\cup A_2$ [/mm] oder [mm] $x\in A_3$ [/mm] gilt. Falls ersteres, also [mm] $x\in A_1\cup A_2$ [/mm] gilt, gilt wieder nach Definition von [mm] $\cup$: $x\in A_1$ [/mm] oder [mm] $x\in A_2$. [/mm] Insgesamt erhalten wir also [mm] $x\in A_1$ [/mm] oder [mm] $x\in A_2$ [/mm] oder [mm] $x\in A_3$."
[/mm]
Betrachten wir etwa den ersten Fall, also [mm] $x\in A_1$. [/mm] Nun nutze [mm] $A_1\subseteq B_1$ [/mm] aus. Was kannst du aus [mm] $x\in A_1$ [/mm] und [mm] $A_1\subseteq B_1$ [/mm] folgern?
Soweit erstmal. Vielleicht kommst du damit schon weiter, wenn du weist, was zu zeigen ist.
(Dann sind noch die Fälle [mm] $x\in A_2$ [/mm] und [mm] $x\in A_3$ [/mm] nicht zu vergessen. Aber wenn du den ersten Fall verstanden hast, werden dir die anderen beiden nicht schwer fallen.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
Jop bis dahin hab ichs schon verstanden danke :) Wenn ich also den ersten Fall habe x [mm] \in A_{1} [/mm] und [mm] A_{1} \subseteq B_{1} [/mm] dann ist doch auch x [mm] \in B_{1} [/mm] Dann ist das x auch in der Menge [mm] B_{1} [/mm] drin . Wenn ich das jetzt noch für die anderen Fälle mache ist das ok ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Jop bis dahin hab ichs schon verstanden danke :) Wenn ich
> also den ersten Fall habe x [mm]\in A_{1}[/mm] und [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm]
> dann ist doch auch x [mm]\in B_{1}[/mm] Dann ist das x auch in der
> Menge [mm]B_{1}[/mm] drin .
Was wollen wir eigentlich zeigen? Warum haben wir ein [mm] $x\in(A_1\cup A_2)\cup A_3$ [/mm] genommen? Um [mm] $x\in(B_1\cup B_2)\cup B_3$ [/mm] zu zeigen! (Falls dir das unklar ist, bitte nachfragen!)
Bisher haben wir schonmal (im ersten der drei Fälle) [mm] $x\in B_1$ [/mm] gezeigt. Hast du eine Idee, wie man daraus [mm] $x\in(B_1\cup B_2)\cup B_3$ [/mm] folgern kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
> Bisher haben wir schonmal (im ersten der drei Fälle) [mm]x\in B_1[/mm]
> gezeigt. Hast du eine Idee, wie man daraus [mm]x\in(B_1\cup B_2)\cup B_3[/mm]
> folgern kann?
Kann ich den teil nicht auch wieder aufteilen in x [mm] \in B_{1} [/mm] ,x [mm] \in B_{2},x \in B_{3} [/mm] ? Dann kann auch doch diese drei jeweils so zeigen wie wir das gerade eben getan haben oder ?
Warum wir ein x aus der linken Seite genommen haben weiß ich ehrlich gesagt nicht ... dass kam automatisch als ich "beweisen" gelesen habe :D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Kann ich den teil nicht auch wieder aufteilen in x [mm]\in B_{1}[/mm]
> ,x [mm]\in B_{2},x \in B_{3}[/mm] ? Dann kann auch doch diese drei
> jeweils so zeigen wie wir das gerade eben getan haben oder
> ?
Tatsächlich gilt [mm] $y\in (B_1\cup B_2)\cup B_3$ [/mm] genau dann wenn [mm] $y\in B_1$ [/mm] oder [mm] $y\in B_2$ [/mm] oder [mm] $y\in B_3$. [/mm] (Somit folgt natürlich aus [mm] $x\in B_1$, [/mm] dass [mm] $x\in(B_1\cup B_2)\cup B_3$.) [/mm] Aber ich vermute mal, dass ihr das genauer begründen müsstet. Und für die Rückrichtung benötigten wir dann wieder eine Fallunterscheidung nach [mm] $y\in B_1$ [/mm] bzw. [mm] $y\in B_2$ [/mm] bzw. [mm] $y\in B_3$...
[/mm]
Mein Vorschlag: "Aus [mm] $x\in B_1$ [/mm] folgt nach Definition von [mm] $\cup$, [/mm] dass [mm] $x\in B_1\cup B_2$ [/mm] gilt. Daraus wiederum folgt wieder nach Definition von [mm] $\cup$, [/mm] dass wie gewünscht [mm] $x\in(B_1\cup B_2)\cup B_3$." [/mm] Sind dir die beiden Schritte soweit klar?
> Warum wir ein x aus der linken Seite genommen haben weiß
> ich ehrlich gesagt nicht ... dass kam automatisch als ich
> "beweisen" gelesen habe :D.
Gut dass du nachhakst!
Wir wollen von gewissen Mengen $A$ und $B$ zeigen, dass [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt. Was bedeutet das? Also wie lautet die Definition von [mm] $A\subseteq [/mm] B$? Für ALLE [mm] $x\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\in [/mm] B$. (So oder so ähnlich müsste das irgendwo in deiner Mitschrift stehen.)
Wie kann man so eine "für alle"-Aussage beweisen? Man nimmt hier ein beliebiges Element [mm] $x\in [/mm] A$ und zeigt, dass dieses Element [mm] $x\in [/mm] B$ erfüllt. Da $x$ beliebig war, folgt wie gewünscht, dass für alle [mm] $x\in [/mm] A$ auch [mm] $x\in [/mm] B$ gilt.
Merke dir am besten: Um Aussagen der Form [mm] $A\subseteq [/mm] B$ zu zeigen, nimmt man ein Element [mm] $x\in [/mm] A$ und zeigt [mm] $x\in [/mm] B$.
So weit verständlich? Ansonsten bitte weiter nachhaken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tanye |
Sei x [mm] \in (A_{1} \cup A_{2})\cup A_{3} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in A_{1} [/mm] V x [mm] \in A_{2} [/mm] V x [mm] \in A_{3} [/mm] . Wenn ich diese 3 Fälle durchrechne komme ich auf x [mm] \in B_{1} [/mm] V x [mm] \in B_{2} [/mm] V x [mm] \in B_{3} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in ((B_{1}\cup B_{2}) \cup B_{3}). [/mm] Aber da bin ich doch noch nicht fertig oder ? ...
Aus dem was du danach gesagt hast hab ich mir folgendes gedacht : Für alle x [mm] \in ((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3}) [/mm] : x [mm] \in ((B_{1}\cup B_{2}) \cup B_{3}) [/mm] , dass istja theoretisch der Beweis der gezeigt werden soll anders geschrieben .
Schönend Abend noch , tanye
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Sei x [mm]\in (A_{1} \cup A_{2})\cup A_{3} \Rightarrow[/mm] x [mm]\in A_{1}[/mm]
> V x [mm]\in A_{2}[/mm] V x [mm]\in A_{3}[/mm] . Wenn ich diese 3 Fälle
> durchrechne komme ich auf x [mm]\in B_{1}[/mm] V x [mm]\in B_{2}[/mm] V x [mm]\in B_{3} \Rightarrow[/mm]
> x [mm]\in ((B_{1}\cup B_{2}) \cup B_{3}).[/mm] Aber da bin ich doch
> noch nicht fertig oder ? ...
Im Grunde schon. Du hast nur einen Teil der Argumentation mittels "Wenn ich diese 3 Fälle durchrechne komme ich auf..." unterschlagen. Diese Überlegung müsstest du bei Abgabe eines Übungsblattes oder einer Klausur natürlich näher ausführen. Den letzten Schritt x [mm]\in B_{1}[/mm] V x [mm]\in B_{2}[/mm] V x [mm]\in B_{3} \Rightarrow[/mm] x [mm]\in ((B_{1}\cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm] hatte ich im letzten Post vorgeschlagen, näher auszuführen, aber vielleicht reicht das auch so.
> Aus dem was du danach gesagt hast hab ich mir folgendes
> gedacht : Für alle x [mm]\in ((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3})[/mm] : x
> [mm]\in ((B_{1}\cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm] , dass istja theoretisch
> der Beweis der gezeigt werden soll anders geschrieben .
> Schönend Abend noch , tanye
Danke, dir auch!
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