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Mengenlehre Klasse 8, Gym: Koinstruktion einer Menge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Sa 03.06.2006
Autor: papa

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A(5/7), B(5/2), ferner die Mengen [mm] M_1={P|winkel APB \ge 60°}, M_2 [/mm] = {P|winkelAPB [mm] \le [/mm] 90°}, [mm] M_3={P | \overline{AP} > \overline {BP}}. [/mm]
Konstruiere die Menge M = [mm] M_1 \cap M_2 \cap M_3 [/mm]

Pardon, komme mit der Aufgabenstellung meines Sohnes nicht klar.
Punkte A und B ins Koordinatensystem zeichen - no Problem, aber die Definition der Mengenbegriffe verstehe ich nicht. Sind das nur "Punkt"-Mengen?

z.B. [mm] M_1: [/mm] soll das heißen, einen Punkt P so zu konstruieren, dass sich ein Winkel ABP von [mm] \ge [/mm] 60° ergibt? Wenn ja, kann dieser Punkt dann beliebig irgendwo liegen, Haupsache der Winkel ist eingehalten, z.B. ca. P(0,5/4,5)
oder P(9,5/4,5) oder P(4/7) ...

Wie sieht es aber mit [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] aus und was ist die Menge M, eine Linie oder ein Dreieck [mm] M_1/M_2/M_3 [/mm]  oder evtl der Inhalt diees Dreiecks?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Kann mir jemand den Lösungsweg schrittweise aufzeigen?


        
Bezug
Mengenlehre Klasse 8, Gym: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Sa 03.06.2006
Autor: piet.t

Hallo und
[willkommenmr]

> Gegeben sind die Punkte A(5/7), B(5/2), ferner die Mengen
> [mm]M_1=\{P|\sphericalangle APB \ge 60°\}[/mm],  [mm] M_2=\{P|\sphericalangle APB \le 90°\}[/mm],
> [mm]M_3=\{P | \overline{AP} > \overline {BP}\}.[/mm]
>  Konstruiere die
> Menge M = [mm]M_1 \cap M_2 \cap M_3[/mm]
>  Pardon, komme mit der
> Aufgabenstellung meines Sohnes nicht klar.
> Punkte A und B ins Koordinatensystem zeichen - no Problem,
> aber die Definition der Mengenbegriffe verstehe ich nicht.
> Sind das nur "Punkt"-Mengen?

Was verstehst Du da genau unter einer "Punkt"-Menge? [mm] M_1, M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] sind Mengen, die aus allen Punkten mit einer bestimmten Eigenschaft bestehen.

>  
> z.B. [mm]M_1:[/mm] soll das heißen, einen Punkt P so zu
> konstruieren, dass sich ein Winkel ABP von [mm]\ge[/mm] 60° ergibt?

Im Prinzip ja, aber nicht nur einen, sondern alle(!) für die sich so ein Winkel ergibt.

> Wenn ja, kann dieser Punkt dann beliebig irgendwo liegen,
> Haupsache der Winkel ist eingehalten, z.B. ca. P(0,5/4,5)
> oder P(9,5/4,5) oder P(4/7) ...
>  
> Wie sieht es aber mit [mm]M_2[/mm] und [mm]M_3[/mm] aus und was ist die Menge
> M, eine Linie oder ein Dreieck [mm]M_1/M_2/M_3[/mm]  oder evtl der
> Inhalt diees Dreiecks?
>  

Um rauszukriegen, wie die Menge M aussieht müssen wir uns erstmal die Mengen [mm] M_1 [/mm] bis [mm] M_3 [/mm] klarmachen. Dazu wäre eine Skizze nicht schlecht, vielleicht liefere ich die noch nach, aber erstmal in Prosa:
- Um [mm] M_1 [/mm] zu konstruieren muss man erstmal überlegen, wo alle Punkte P mit [mm]\sphericalangle APB=60°[/mm] liegen. Diese bilden aber genau das zu 60° gehörende Fasskreisbogenpaar über [AB] (wie man so was konstruiert müsste schon drangewesen sein, sonst macht die Aufgabe wenig Sinn). Alle Punkte, für die der Winkel größer ist liegen aber näher an [AB], also ist [mm] M_1 [/mm] das innere des Fasskreisbogenpaars inklusive Rand.
- Für [mm] M_2 [/mm] brauchen wir entsprechend die Punkte, für die der Winkel = 90° ist. Das wäre der Thaleskreis über der Strecke [AB]. Die Punkte mit kleinerem Winkel liegen ausserhalb. Also sind [mm] M_2 [/mm] alle Punkte ausserhalb des Thaleskreises plus die Kreislinie.
- Für [mm] M_3 [/mm] brauchen wir erstmal alle Punkte mit [mm]\overline{AP} = \overline {BP}[/mm]. Das ist aber bekanntermaßen die Mittelsenkrechte von [AB]. Jetzt soll aber A weiter von P entfernt sein als B, also besteht [mm] M_3 [/mm] aus allen Punkten, die auf der gleichen Seite der Mittelsenkrechten wie B liegen. Beachte: da hier > steht gehört die Begrenzungslinie in diesem Fall nicht zur Menge.

Wie sieht jetzt also M aus? [mm]M_1\cap M_2[/mm] sind die Punkte ausserhalb des Thaleskreises und innerhalb des Fasskreisbogens; das sieht dann wie zwei Monsicheln aus. Schneidet man das ganze dann noch mit [mm] M_3, [/mm] dann werden diese Sicheln jeweils noch in der Mitte halbiert, M besteht also aus zwei Sicheln.

Hier mal eine grobe Freihandskizze (ich musste jetzt leider Paint nehmen...):

[Dateianhang nicht öffentlich]

Bei Dir liegt die Strecke natürlich etwas anders, aber das bekommt man auch noch hingedreht....
[mm] M_1 [/mm] liegt im Innern der beiden großen Kreisbogen (die in Wirklichkeit wahrscheinlich etwas kleiner sind), [mm] M_2 [/mm] ist alles, was außerhalb des inneren Kreises liegt. [mm] M_3 [/mm] liegt in dieser Zeichnung rechts von der Mittelsenkrechten. Schneidet man nun alle Mengen, so erhält man gerade die lilanen Punkte. Für die Begrenzungslinien gilt: die Kreislinien gehören noch zur Menge, die Mittelsenkrechte nicht mehr.

Gruß

piet

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Mengenlehre Klasse 8, Gym: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Sa 03.06.2006
Autor: papa

Zuerst mal vielen Dank für den "Prosa"-Lösungansatz. Habe daraufhin mich mal mit dem Thaleskreis und dem Fasskreisbogenpaar beschäftigt. Letzteren kannte ich so mit der Bezeichnung nicht (ist doch schon ´ne Weile her, mein Mathe-Unterricht :-))
Während Sie noch an der Skizze gearbeitet haben, habe ich auch konstruiert. Ergebnis: Meine Menge M befindet sich in Form von zwei Sichelhälften um -90° gedreht zu Ihrer Skizze, und zwar unten.
So das müßte dann wohl stimmen, wenn meine Punkte A(5/7) und B(2/7) sind.

Nochmals vielen Dank für die Nachhilfe.
Gruß PaPa

Bezug
                        
Bezug
Mengenlehre Klasse 8, Gym: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Sa 03.06.2006
Autor: piet.t


> Zuerst mal vielen Dank für den "Prosa"-Lösungansatz. Habe
> daraufhin mich mal mit dem Thaleskreis und dem
> Fasskreisbogenpaar beschäftigt. Letzteren kannte ich so mit
> der Bezeichnung nicht (ist doch schon ´ne Weile her, mein
> Mathe-Unterricht :-))
>  Während Sie noch an der Skizze gearbeitet haben, habe ich
> auch konstruiert. Ergebnis: Meine Menge M befindet sich in
> Form von zwei Sichelhälften um -90° gedreht zu Ihrer
> Skizze, und zwar unten.
>  So das müßte dann wohl stimmen, wenn meine Punkte A(5/7)
> und B(5/2) sind.
>  

Ich habe die Koordinaten bei meinen Überlegungen erstmal aussen vor gelassen, denn das Prinzip bleibt ja erstmal das gleiche. Aber mit den richtigen Punkten sollte das dann stimmen.

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre Klasse 8, Gym: Pardon
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Sa 03.06.2006
Autor: papa

Ihrer Antwort ist natürlich nicht falsch !!!
Ich habe versehentlich den falschen Button gedrückt - Entschuldigung.
Wollte   meine Antwort korrigieren.
Hier nochmal richtiger Versuch: Letzter Satz soll heißen:
"... Punke A(5/7) und B(5/2)..."

Gruß PaPa

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