Mengenlehre, Omega-Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:58 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge M={1,2,3,4,a} und das Mengensystem
F= { [mm] \emptyset, [/mm] M,{3,a},{2,3},{3},{1,a}}.
a) Überprüfen Sie, ob in F alle Durchschnitte der Mengen aus F liegen.
b) Zeigen Sie, dass F keine Omega-Algebra auf M ist.
c) Geben Sie die kleinste Omega-Algebra über M an, die F enthält. |
Hallo allerseits,
ich fange dieses Semester nagelneu mit Stochastik an und hatte bisher nie etwas damit am Hut. Somit verzeiht wenn ich wirklich Anfängerfragen stelle.
Zunächst zu a):
ich denke mal ja es sind alle Durchschnitte der Mengen aus F enthalten, obwohl ich mir beim Durchschnitt der Mengen [mm] \emptyset [/mm] und M nicht ganz sicher bin.
PS: der durchschnitt von {1,2} und {2,3} ist doch {1,2,3} oder muss die 2 doppelt stehen?
zu b)
Hier komme ich am meisten zum Grübeln. Ich habe mir die Definitionen zwar durchgelesen, aber so richtig klar wird mir das nicht
zu c)
kam ich erst nicht :(
Würde mich über eure Hilfe sehr freuen und bedanke mich jetzt schon herzlich dafür :)
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fatih,
könntest du mal bitte die Definition einer Omega-Algebra posten? Ich kenne diesen Begriff nämlich nicht. Oder ist Sigma-Algebra gemeint?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> a) Überprüfen Sie, ob in F alle Durchschnitte der Mengen
> aus F liegen.
>
> ich denke mal ja es sind alle Durchschnitte der Mengen aus
> F enthalten, obwohl ich mir beim Durchschnitt der Mengen
> [mm]\emptyset[/mm] und M nicht ganz sicher bin.
>
> PS: der durchschnitt von {1,2} und {2,3} ist doch {1,2,3}
> oder muss die 2 doppelt stehen?
Hier verwechselst du anscheinend Durchschnitt und Vereinigung von Mengen.
Für Mengen A und B ist deren Durchschnitt definiert durch
[mm] $A\cap B:=\{x\;|\; x\in A\text { und }x\in B\}$,
[/mm]
enthält also genau die Elemente, die in A UND in B liegen.
Überprüfe daraufhin noch einmal deine Überlegungen zu a).
Zur Frage nach der "doppelten 2":
Mengen können jedes Element entweder enthalten oder nicht enthalten. Eine Unterscheidung nach "einfachem" oder "mehrfachem" Enthalten gibt es bei Mengen NICHT. Beispielsweise die Ausdrücke [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] und [mm] $\{1,2,3,2\}$ [/mm] bezeichnen die gleiche Menge.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 23.10.2012 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
danke für die Antwort :)
Ich denke ich habe Verstanden was nun Durchschnitt und Vereinigung ist:
Der Durchschnitt der Mengen {1,2,3} und {1,2} ist somit {1,2}, weil beide Elemente in beiden Mengen vorhanden sind, richtig?
Nun habe ich mich auch über die Eigenschaft der leeren Menge informiert.
Es gilt:
Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge die leere Menge.
Somit liegen in F alle Durchschnitte der Menge F, richtig?
Bei b) bin ich leider immernoch nicht ganz weiter gekommen. Ich bemühe mich aber :)
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich denke ich habe Verstanden was nun Durchschnitt und
> Vereinigung ist:
>
> Der Durchschnitt der Mengen {1,2,3} und {1,2} ist somit
> {1,2}, weil beide Elemente in beiden Mengen vorhanden sind,
> richtig?
Ja.
> Nun habe ich mich auch über die Eigenschaft der leeren
> Menge informiert.
>
> Es gilt:
>
> Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge
> die leere Menge.
Ja. In der Tat gilt für jede Menge A, dass [mm] $A\cap\emptyset=\emptyset$.
[/mm]
Denn angenommen, es gäbe ein Element [mm] $x\in A\cap\emptyset$. [/mm] Dann wäre [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in\emptyset$. [/mm] Letzteres kann aber nicht sein, Widerspruch.
> Somit liegen in F alle Durchschnitte der Menge F, richtig?
Das Ergebnis stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 24.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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