Mengennotation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 Fr 29.08.2014 | | Autor: | ne1 |
Hallo. Es geht mir um die Notation in der Mengenlehre. Um eine Menge zu beschreiben benutzt man geschleifte Klammern und z.B. Doppelpunkte ":" um die Eigenschaft, die die Elemente der Menge besitzen zu beschreiben d.h. z.B. [mm] $\{x \in D: x \in A \ und \ x \in B\}$. [/mm] Oft finde ich aber folgende Notation: [mm] $\{x \in D: x \in A \wedge x \in B\}$. [/mm] Meine Frage ist jetzt, ob die zweite Variante sinnvoll ist. Logische Zeichen wie z.B. [mm] "$\wedge$" [/mm] sind Elemente bestimmter Sprachen wie z.B. der Aussagenlogik. Warum benutze ich die auf einmal in der Mengenlehre? Bis jetzt habe ich in der Literatur keine eindeutige Notation bezüglich der Eigenschaften einer Menge gefunden, auch habe ich nirgendwo gefunden, dass solche Junktoren Elemente der Mengenlehre sind (vielleicht weil ich mich nur mit der naiven Mengenlehre beschäftigt habe).
Ähnliche Probleme habe ich in anderen Fällen wie z.B. $x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N$. Diese Schreibweise suggeriert, dass es eine Notation der Aussagenlogik sei, was natürlich nicht ganz korrekt ist. Das ganze sieht für mich also so aus als wenn ich in einer Textaufgabe statt "Ein Auto fährt 5 Std. und beginnt die Fahrt um 10:00...", "Ein Auto fährt 5 Std. [mm] $\wedge$ [/mm] und beginnt die Fahrt um 10:00..." schreiben würde. Vielleicht bin ich bisschen pingelig.
Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere Notationen einfach nur als Vereinfachungen der deutschen Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen mathematischen Sprachen benutzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Fr 29.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Es geht mir um die Notation in der Mengenlehre. Um
> eine Menge zu beschreiben benutzt man geschleifte Klammern
> und z.B. Doppelpunkte ":" um die Eigenschaft, die die
> Elemente der Menge besitzen zu beschreiben d.h. z.B. [mm]\{x \in D: x \in A \ und \ x \in B\}[/mm].
> Oft finde ich aber folgende Notation: [mm]\{x \in D: x \in A \wedge x \in B\}[/mm].
> Meine Frage ist jetzt, ob die zweite Variante sinnvoll ist.
> Logische Zeichen wie z.B. "[mm]\wedge[/mm]" sind Elemente bestimmter
> Sprachen wie z.B. der Aussagenlogik. Warum benutze ich die
> auf einmal in der Mengenlehre? Bis jetzt habe ich in der
> Literatur keine eindeutige Notation bezüglich der
> Eigenschaften einer Menge gefunden, auch habe ich nirgendwo
> gefunden, dass solche Junktoren Elemente der Mengenlehre
> sind (vielleicht weil ich mich nur mit der naiven
> Mengenlehre beschäftigt habe).
>
> Ähnliche Probleme habe ich in anderen Fällen wie z.B. [mm]x \in M \wedge x \in N \Rightarrow x \in N[/mm].
> Diese Schreibweise suggeriert, dass es eine Notation der
> Aussagenlogik sei, was natürlich nicht ganz korrekt ist.
warum nicht? $x [mm] \in [/mm] M$ ist eine Aussage der zweiwertigen Logik. Ebenso die
Aussage $x [mm] \in N\,.$ [/mm] Manche haben eher Probleme damit, wie Mathematiker
das Symbol [mm] $\Rightarrow$ [/mm] verwenden... Aber was genau da das Problem
war (manche wollen wohl lieber [mm] $\rightarrow$ [/mm] sehen...?!), müßte ich jetzt auch nochmal
nachgucken bzw. mir nochmal überlegen. Bin aber gerade etwas in Eile.
Achja, eine übliche mathematische Definition:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
soll genau dann wahr sein, wenn
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B$
wahr ist.
> Das ganze sieht für mich also so aus als wenn ich in einer
> Textaufgabe statt "Ein Auto fährt 5 Std. und beginnt die
> Fahrt um 10:00...", "Ein Auto fährt 5 Std. [mm]\wedge[/mm] und
Das zweite "und" (nach dem [mm] $\wedge$) [/mm] hast Du sicher zu viel geschrieben.
> beginnt die Fahrt um 10:00..." schreiben würde. Vielleicht
> bin ich bisschen pingelig.
>
> Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere
> Notationen einfach nur als Vereinfachungen der deutschen
> Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen
> mathematischen Sprachen benutzt?
Naja, es ist einfach nur eine Abkürzung, um das Wort "und" zu ersetzen.
Aber natürlich gilt
$x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\wedge$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] N$
genau dann, wenn [mm] $x\,$ [/mm] sowohl in [mm] $M\,$ [/mm] als auch in [mm] $N\,$ [/mm] ist. Dort wird das
im Sinne des "logischen und" verwendet.
Bei Deinem umgangssprachlichen Satz oben sollte man es eher nicht
verwenden. Ebenso, wenn man ein Schild liest, wo steht:
Essen und Trinken verboten.
Denn eigentlich meinen die eher
Essen oder Trinken verboten.
(Warum sollte man nur das "simultane" 'Essen und Trinken' verbieten?)
Aber hier ist auch das Problem, dass "Essen" ja gar keine Aussage ist...
Deswegen wäre
Essen [mm] $\wedge$ [/mm] Trinken verboten
etwas merkwürdig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 29.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Hallo. Es geht mir um die Notation in der Mengenlehre. Um
> > eine Menge zu beschreiben benutzt man geschleifte Klammern
> > und z.B. Doppelpunkte ":" um die Eigenschaft, die die
> > Elemente der Menge besitzen zu beschreiben d.h. z.B. [mm]\{x \in D: x \in A \ und \ x \in B\}[/mm].
> > Oft finde ich aber folgende Notation: [mm]\{x \in D: x \in A \wedge x \in B\}[/mm].
> > Meine Frage ist jetzt, ob die zweite Variante sinnvoll ist.
> > Logische Zeichen wie z.B. "[mm]\wedge[/mm]" sind Elemente bestimmter
> > Sprachen wie z.B. der Aussagenlogik. Warum benutze ich die
> > auf einmal in der Mengenlehre? Bis jetzt habe ich in der
> > Literatur keine eindeutige Notation bezüglich der
> > Eigenschaften einer Menge gefunden, auch habe ich nirgendwo
> > gefunden, dass solche Junktoren Elemente der Mengenlehre
> > sind (vielleicht weil ich mich nur mit der naiven
> > Mengenlehre beschäftigt habe).
> >
> > Ähnliche Probleme habe ich in anderen Fällen wie z.B. [mm]x \in M \wedge x \in N \Rightarrow x \in N[/mm].
> > Diese Schreibweise suggeriert, dass es eine Notation der
> > Aussagenlogik sei, was natürlich nicht ganz korrekt ist.
>
> warum nicht? [mm]x \in M[/mm] ist eine Aussage der zweiwertigen
> Logik.
Hallo,
egentlich wollte ich spontan genau das Gleiche schreiben, aber es stimmt nicht.
[mm]x \in M[/mm] ist eine AussageFORM, keine Aussage. Zur Aussage wird das erst in folgenden drei Fällen:
- die freie Variable x wird mit einem konkreten Wert belegt
- es wird eine Allaussage formuliert ("Für alle x gilt...")
- es wird eine Existenzaussage formuliert ("Es gibt ein x mit der Eigenschaft...")
So müsste sicher auch die obige Aussage ausgelegt(bzw. besser formuliert) werden:
"Wenn es ein x gibt mit den Eigenschaften [mm]x \in M [/mm] und [mm]x \in N [/mm], dann gilt für dieses x auch ..."
Gruß Abakus
>Ebenso die
> Aussage [mm]x \in N\,.[/mm] Manche haben eher Probleme damit, wie
> Mathematiker
> das Symbol [mm]\Rightarrow[/mm] verwenden... Aber was genau da das
> Problem
> war (manche wollen wohl lieber [mm]\rightarrow[/mm] sehen...?!),
> müßte ich jetzt auch nochmal
> nachgucken bzw. mir nochmal überlegen. Bin aber gerade
> etwas in Eile.
>
> Achja, eine übliche mathematische Definition:
>
> [mm]A \Rightarrow B[/mm]
>
> soll genau dann wahr sein, wenn
>
> [mm](\neg A) \vee B[/mm]
>
> wahr ist.
>
> > Das ganze sieht für mich also so aus als wenn ich in einer
> > Textaufgabe statt "Ein Auto fährt 5 Std. und beginnt die
> > Fahrt um 10:00...", "Ein Auto fährt 5 Std. [mm]\wedge[/mm] und
>
> Das zweite "und" (nach dem [mm]\wedge[/mm]) hast Du sicher zu viel
> geschrieben.
>
> > beginnt die Fahrt um 10:00..." schreiben würde. Vielleicht
> > bin ich bisschen pingelig.
> >
> > Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere
> > Notationen einfach nur als Vereinfachungen der deutschen
> > Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen
> > mathematischen Sprachen benutzt?
>
> Naja, es ist einfach nur eine Abkürzung, um das Wort "und"
> zu ersetzen.
> Aber natürlich gilt
>
> [mm]x \in M[/mm] [mm]\wedge[/mm] [mm]x \in N[/mm]
>
> genau dann, wenn [mm]x\,[/mm] sowohl in [mm]M\,[/mm] als auch in [mm]N\,[/mm] ist.
> Dort wird das
> im Sinne des "logischen und" verwendet.
>
> Bei Deinem umgangssprachlichen Satz oben sollte man es eher
> nicht
> verwenden. Ebenso, wenn man ein Schild liest, wo steht:
>
> Essen und Trinken verboten.
>
> Denn eigentlich meinen die eher
>
> Essen oder Trinken verboten.
>
> (Warum sollte man nur das "simultane" 'Essen und Trinken'
> verbieten?)
>
> Aber hier ist auch das Problem, dass "Essen" ja gar keine
> Aussage ist...
> Deswegen wäre
>
> Essen [mm]\wedge[/mm] Trinken verboten
>
> etwas merkwürdig.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo. Es geht mir um die Notation in der Mengenlehre.
> Um
> > > eine Menge zu beschreiben benutzt man geschleifte
> Klammern
> > > und z.B. Doppelpunkte ":" um die Eigenschaft, die die
> > > Elemente der Menge besitzen zu beschreiben d.h. z.B.
> [mm]\{x \in D: x \in A \ und \ x \in B\}[/mm].
> > > Oft finde ich
> aber folgende Notation: [mm]\{x \in D: x \in A \wedge x \in B\}[/mm].
>
> > > Meine Frage ist jetzt, ob die zweite Variante sinnvoll
> ist.
> > > Logische Zeichen wie z.B. "[mm]\wedge[/mm]" sind Elemente
> bestimmter
> > > Sprachen wie z.B. der Aussagenlogik. Warum benutze ich
> die
> > > auf einmal in der Mengenlehre? Bis jetzt habe ich in
> der
> > > Literatur keine eindeutige Notation bezüglich der
> > > Eigenschaften einer Menge gefunden, auch habe ich
> nirgendwo
> > > gefunden, dass solche Junktoren Elemente der
> Mengenlehre
> > > sind (vielleicht weil ich mich nur mit der naiven
> > > Mengenlehre beschäftigt habe).
> > >
> > > Ähnliche Probleme habe ich in anderen Fällen wie
> z.B. [mm]x \in M \wedge x \in N \Rightarrow x \in N[/mm].
> > > Diese
> Schreibweise suggeriert, dass es eine Notation der
> > > Aussagenlogik sei, was natürlich nicht ganz korrekt
> ist.
> >
> > warum nicht? [mm]x \in M[/mm] ist eine Aussage der zweiwertigen
> > Logik.
> Hallo,
> egentlich wollte ich spontan genau das Gleiche schreiben,
> aber es stimmt nicht.
> [mm]x \in M[/mm] ist eine AussageFORM, keine Aussage.
es fängt schon damit an, dass ich im Mathematik-Studium diese
Unterscheidung nicht gelernt habe - weil sie in keiner unserer
Vorlesungen behandelt wurde.
> Zur Aussage wird das erst in folgenden drei Fällen:
> - die freie Variable x wird mit einem konkreten Wert
> belegt
> - es wird eine Allaussage formuliert ("Für alle x
> gilt...")
> - es wird eine Existenzaussage formuliert ("Es gibt ein x
> mit der Eigenschaft...")
> So müsste sicher auch die obige Aussage ausgelegt(bzw.
> besser formuliert) werden:
> "Wenn es ein x gibt mit den Eigenschaften [mm]x \in M[/mm] und [mm]x \in N [/mm],
> dann gilt für dieses x auch ..."
Das kann ich aber dennoch durchaus nachvollziehen. Danke für die
ergänzende Korrektur. Wie gesagt: Das Ganze war auch ein relativ
spontaner Schnellschuß, und mit der Logik (als eigenständiges Gebiet)
bin ich nicht so ganz vertraut. Eigentlich müßte ich das nachträglich an
meinem Studium bemängeln, dass das bei uns so *oberflächlich*
gehändelt wurde... Andererseits kommt man ja dennoch auch so ziemlich
weit. ^^
Gruß,
Marcel
> >Ebenso die
> > Aussage [mm]x \in N\,.[/mm] Manche haben eher Probleme damit,
> wie
> > Mathematiker
> > das Symbol [mm]\Rightarrow[/mm] verwenden... Aber was genau da
> das
> > Problem
> > war (manche wollen wohl lieber [mm]\rightarrow[/mm] sehen...?!),
> > müßte ich jetzt auch nochmal
> > nachgucken bzw. mir nochmal überlegen. Bin aber gerade
> > etwas in Eile.
> >
> > Achja, eine übliche mathematische Definition:
> >
> > [mm]A \Rightarrow B[/mm]
> >
> > soll genau dann wahr sein, wenn
> >
> > [mm](\neg A) \vee B[/mm]
> >
> > wahr ist.
> >
> > > Das ganze sieht für mich also so aus als wenn ich in
> einer
> > > Textaufgabe statt "Ein Auto fährt 5 Std. und beginnt
> die
> > > Fahrt um 10:00...", "Ein Auto fährt 5 Std. [mm]\wedge[/mm]
> und
> >
> > Das zweite "und" (nach dem [mm]\wedge[/mm]) hast Du sicher zu
> viel
> > geschrieben.
> >
> > > beginnt die Fahrt um 10:00..." schreiben würde.
> Vielleicht
> > > bin ich bisschen pingelig.
> > >
> > > Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere
> > > Notationen einfach nur als Vereinfachungen der
> deutschen
> > > Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen
> > > mathematischen Sprachen benutzt?
> >
> > Naja, es ist einfach nur eine Abkürzung, um das Wort
> "und"
> > zu ersetzen.
> > Aber natürlich gilt
> >
> > [mm]x \in M[/mm] [mm]\wedge[/mm] [mm]x \in N[/mm]
> >
> > genau dann, wenn [mm]x\,[/mm] sowohl in [mm]M\,[/mm] als auch in [mm]N\,[/mm] ist.
> > Dort wird das
> > im Sinne des "logischen und" verwendet.
> >
> > Bei Deinem umgangssprachlichen Satz oben sollte man es
> eher
> > nicht
> > verwenden. Ebenso, wenn man ein Schild liest, wo steht:
> >
> > Essen und Trinken verboten.
> >
> > Denn eigentlich meinen die eher
> >
> > Essen oder Trinken verboten.
> >
> > (Warum sollte man nur das "simultane" 'Essen und
> Trinken'
> > verbieten?)
> >
> > Aber hier ist auch das Problem, dass "Essen" ja gar
> keine
> > Aussage ist...
> > Deswegen wäre
> >
> > Essen [mm]\wedge[/mm] Trinken verboten
> >
> > etwas merkwürdig.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Fr 29.08.2014 | | Autor: | ne1 |
Ich werde jetzt als Mitteilung antworten, denn es geht eigentlich nicht um eine konkrete Aufgabe. Trotzdem finde ich das Thema interessant.
> warum nicht? [mm]x \in M[/mm] ist eine Aussage der zweiwertigen
> Logik. Ebenso die
> Aussage [mm]x \in N\,.[/mm] Manche haben eher Probleme damit, wie
> Mathematiker
> das Symbol [mm]\Rightarrow[/mm] verwenden... Aber was genau da das
> Problem
> war (manche wollen wohl lieber [mm]\rightarrow[/mm] sehen...?!),
> müßte ich jetzt auch nochmal
> nachgucken bzw. mir nochmal überlegen. Bin aber gerade
> etwas in Eile.
Also erstens ist mir nicht ganz klar was Du unter einer zweiwertigen Logik verstehst. Themen der Logik mit denen ich mich bis jetzt beschäftigt habe, sind Aussagenlogik und Prädikatenlogik der ersten Stufe. Die Prädikatenlogik benutzt bestimmte Symbole. Sätze der Prädikaten gibt es in der Form wie $x [mm] \in [/mm] M$ nicht, da erstens, wie schon abakus geschrieben hat, handelt sich hier um eine Satzfunktion und zweitens sind meiner Meinung nach auch Gebilde wie $1 [mm] \in \{1, 2, 3\}$ [/mm] keine Sätze der Prädikatenlogik. Ich habe gelernt, dass die Syntax der Prädikatenlogik sich aus bestimmten Symbolen setzt und erst diese Zeichen kann man interpretieren d.h. eine Definitionsmenge und eine Funktion angeben die unseren Symbolen bestimmte Gegenstände zuordnet. In diesem Sinne ist $1 [mm] \in \{1, 2, 3\}$ [/mm] kein Satz der Prädikatenlogik. Vielleicht gibt es unterschiedliche Auslegungen der Prädikatenlogik, die Aussagen, wie die von mir oben genante, als Sätze zulässt. Dafür habe ich aber wahrscheinlich zu wenig Ahnung und Erfahrung. Gut finde ich den Satz von abakus
>"Wenn es ein x gibt mit den Eigenschaften $ x [mm] \in [/mm] M $ und $ x [mm] \in [/mm] N $, dann gilt für dieses x auch ..."
Er lässt sich definitiv leicht in die Prädikatenlogik übersetzen.
> Achja, eine übliche mathematische Definition:
>
> [mm]A \Rightarrow B[/mm]
>
> soll genau dann wahr sein, wenn
>
> [mm](\neg A) \vee B[/mm]
>
> wahr ist.
Das ist klar. Ich würde lieber sagen "wahr bezüglich einer Bewertung".
> Das zweite "und" (nach dem [mm]\wedge[/mm]) hast Du sicher zu viel
> geschrieben.
Natürlich hast Du recht.
> > beginnt die Fahrt um 10:00..." schreiben würde. Vielleicht
> > bin ich bisschen pingelig.
> >
> > Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere
> > Notationen einfach nur als Vereinfachungen der deutschen
> > Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen
> > mathematischen Sprachen benutzt?
>
> Naja, es ist einfach nur eine Abkürzung, um das Wort "und"
> zu ersetzen.
> Aber natürlich gilt
>
> [mm]x \in M[/mm] [mm]\wedge[/mm] [mm]x \in N[/mm]
>
> genau dann, wenn [mm]x\,[/mm] sowohl in [mm]M\,[/mm] als auch in [mm]N\,[/mm] ist.
> Dort wird das
> im Sinne des "logischen und" verwendet.
>
> Bei Deinem umgangssprachlichen Satz oben sollte man es eher
> nicht
> verwenden. Ebenso, wenn man ein Schild liest, wo steht:
>
> Essen und Trinken verboten.
>
> Denn eigentlich meinen die eher
>
> Essen oder Trinken verboten.
>
> (Warum sollte man nur das "simultane" 'Essen und Trinken'
> verbieten?)
>
> Aber hier ist auch das Problem, dass "Essen" ja gar keine
> Aussage ist...
> Deswegen wäre
>
> Essen [mm]\wedge[/mm] Trinken verboten
>
> etwas merkwürdig.
>
Das geht schon bisschen zu weit. Ich wollte mit meinem umgangssprachlichen Beispiel nur verdeutlichen wie das [mm] $\wedge$ [/mm] in der Mengenlehre auf mich wirkt und ggf. herausfinden, ob es tatsächlich berechtigt ist, solche Symbole in der Mengenlehre zu verwenden. Und natürlich vielen Dank für Eure Beiträge.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich werde jetzt als Mitteilung antworten, denn es geht
> eigentlich nicht um eine konkrete Aufgabe. Trotzdem finde
> ich das Thema interessant.
>
> > warum nicht? [mm]x \in M[/mm] ist eine Aussage der zweiwertigen
> > Logik. Ebenso die
> > Aussage [mm]x \in N\,.[/mm] Manche haben eher Probleme damit, wie
> > Mathematiker
> > das Symbol [mm]\Rightarrow[/mm] verwenden... Aber was genau da
> das
> > Problem
> > war (manche wollen wohl lieber [mm]\rightarrow[/mm] sehen...?!),
> > müßte ich jetzt auch nochmal
> > nachgucken bzw. mir nochmal überlegen. Bin aber gerade
> > etwas in Eile.
>
> Also erstens ist mir nicht ganz klar was Du unter einer
> zweiwertigen Logik verstehst.
nur mal kurz dazu, weil der Rest doch schon von Abakus gut klargestellt
wurde. Eigentlich ist das relativ bekannt, was man unter der zweiwertigen
Logik versteht, und es steckt ja auch schon im Namen mit drin:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_der_Zweiwertigkeit
(Schlecht ist vielleicht, dass ich von *der* gesprochen habe. Eventuell gibt
es noch andere - keine Ahnung, aber das kann man ja nachgucken. Ich
meinte mit *der zweiwertigen Logik* halt die klassische, siehe unten!)
Die klassische Logik ist also eine zweiwertige. Mir geht's auch gar
nicht darum, hier mit den Begriffen um mich zu mehr als die *klassische*
Logik *kenne* ich eh nicht, und auch da kenne ich mich, meiner Meinung
nach, auch eher nur *oberflächlich* aus.
Ich erwähnte den Begriff halt nur, weil es, wie Du siehst, auch
andere Logik(en)
gibt (wie lautet eigentlich der Plural von "Logik"?).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Es geht mir um die Notation in der Mengenlehre. Um
> eine Menge zu beschreiben benutzt man geschleifte Klammern
> und z.B. Doppelpunkte ":" um die Eigenschaft, die die
> Elemente der Menge besitzen zu beschreiben d.h. z.B. [mm]\{x \in D: x \in A \ und \ x \in B\}[/mm].
> Oft finde ich aber folgende Notation: [mm]\{x \in D: x \in A \wedge x \in B\}[/mm].
> Meine Frage ist jetzt, ob die zweite Variante sinnvoll ist.
nach dem Einwand von Abakus:
Ob die Schreibweise im Sinne der Logik sinnvoll ist, sei jetzt mal
dahingestellt. Aber kann man dann nicht einfach sagen, dass man
die folgende Notation definitionsgemäß vereinbart:
Wir schreiben
[mm] $S:=\{x \in D:\;\; x \in A \wedge x \in B\}$
[/mm]
für die Menge $S [mm] \subseteq [/mm] D,$ welche dadurch definiert werde, dass gilt:
[mm] $\forall$ $x\,:$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] S$ [mm] :$\iff$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] D$ [mm] $\wedge$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A$ [mm] $\wedge$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] B$).
Oder hast Du selbst einen passenden Vorschlag oder siehst Du da einen
Fehler?
Denn im Endeffekt sehe ich es so: Selbst, wenn diese Notation im Sinne
der Logik nicht ganz korrekt ist, dann weiß doch jeder, was gemeint ist.
Aber damit man das auch einmal präzise festgehalten hat (das ist ja oft
sehr wesentlich, gerade in der Mathematik, dass man die Begriffe auch im
Sinne einer präzisen Definition anwendet - eben, um Missverständnissen
aus dem Weg zu gehen (bspw.), sollte man es auch mal präzise
aufschreiben.
Es erinnert mich ein wenig an die - aus der Wahrscheinlichkeitslehre
bekannte, aber vielleicht erstmal *merkwürdig anmutende* - Notation [mm] $\{X \le 3\}$.
[/mm]
Und da finden wir sicher noch wesentlich mehr Beispiele, wo Notationen
eigentlich nicht zu dem bisher gelernten passen, aber dann quasi diese
Notation entsprechend passend definiert wird.
Gruß,
Marcel
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wenn ich das also richtig sehe, kann ich mir obere
> Notationen einfach nur als Vereinfachungen der deutschen
> Sprache sehen, die die logischen Zeichen der formalen
> mathematischen Sprachen benutzt?
Du kannst es auch andersrum sehen. $\left\{x\in D\;\;\middle|\;\;x \text{ ist ein Element von } A \text{ und gleichzeitig ein Element von } B}\right\}$ ist eine Vereinfachung(da es leichter zu verstehen ist) der prädikatenlogischen Formulierung, die die 24 Buchsstaben der deutschen Sprache verwendet.
Wichtig sind doch nur zwei Dinge:
(i) Wir wissen, was gemeint ist.
(ii) Wir sind uns darüber im klaren, dass es prinzipiell möglich ist, alle Notationen auch im Prädikatenlogischen Alphabet zu formulieren, sodass wir die (Meta)-Sätze, die uns über diese Logik zur Verfügung stehen, anwenden können.
Und diese Voraussetzungen erfüllen beide Notationen von dir, und auch meine. Ich persönlich bin dafür, soweit es geht auf logische Symbole zu verzichten, aber das kann ja jeder handhaben, wie er möchte. Ich persönlich brauche 20 min um zu verstehen, was mit dem Auswahlaxiom hier gemeint ist, während mir der Satz "Jeder Epimorphismus von Mengen spaltet" sofort klar ist. Beides sagt jedoch dasselbe aus und daher ist es völlig egal, was dir besser gefällt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und diese Voraussetzungen erfüllen beide Notationen von
> dir, und auch meine. Ich persönlich bin dafür, soweit es
> geht auf logische Symbole zu verzichten, aber das kann ja
> jeder handhaben, wie er möchte.
ich persönlich habe die Erfahrung gemacht, dass man am Besten erstmal
drauf verzichtet und sie *langsam* - also ab und an - ins Spiel bringt. Das hat
den Vorteil, dass man nicht direkt mit den logischen Symbolen erschlagen
wird und dass man zudem nach und nach lernt, sie zu verstehen (wenn
man eine Fremdsprache lernt, lernt man ja auch nicht direkt alle möglichen
komplexen Ausdrücke und Sätze).
Durch das *langsame Angewöhnen* merken die Leute dann auch nach und
nach, sich die Sachen einzuprägen und nutzen sie selbst an gewissen Stellen,
sobald sie sie selbst als praktikabel erachten. (Wenn man in einem Text 10
mal "Für alle natürlichen Zahlen [mm] $n\,$ [/mm] ..." geschrieben hat, ist man es irgendwann
auch Leid und will das abkürzen: [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] ...).
> Ich persönlich brauche 20
> min um zu verstehen, was mit dem Auswahlaxiom
> hier
> gemeint ist,
Ehrlich? Du hast das ja auch
hier
mal kritisiert.
Ich finde es eigentlich sehr natürlich: Stelle Dir Mengen als eine Ansammlung
nichtleerer Säcke vor. Jeder Sack ist "indiziert", wir haben also eine Familie
[mm] $\{M_i: i \in I\}$ [/mm] von nichtleeren "Säcken" bzw. Mengen [mm] $M_i.$ [/mm] Die Aussage ist:
"Ich kann in jeden Sack reingreifen und dann immer wenigstens ein
Element aus dem Sack rausziehen."
Ich finde das sehr anschaulich, wobei meine Anschauung natürlich gerade
für die interessanten Fälle, dass [mm] $I\,$ [/mm] abzählbar unendlich oder gar überabzählbar
ist, flöten geht. (Im Falle der Endlichkeit von [mm] $I\,$ [/mm] ist das Axiom kein Axiom, sondern
sogar beweisbar.)
Um obige Anschauung "mit Funktionen" zu beschreiben, das geht dann so:
Es existiert eine (Auswahl-)Funktion (der "Zugreifer") $f [mm] \colon \{M_i: i \in I\} \to \bigcup_{i \in I} M_i$ [/mm] (rechts
steht "der Zusammenwurf aller Elemente der Mengen [mm] $M_i$") [/mm] derart, dass
für alle $x [mm] \in \{M_i: i \in I\}$ [/mm] gilt $f(x) [mm] \in x\,.$
[/mm]
Was bedeutet das? Egal, in welchen Sack [mm] $x=M_k$ [/mm] (mit einem $k [mm] \in [/mm] I$) ich mit [mm] $f\,$ [/mm] "packe",
es ist so, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] die Eigenschaft hat, "ein aus diesem Sack rausgezogenes
Element" zu sein. Also: Dass es aus dem Sack [mm] $M_k=x$ [/mm] kommt: $f(x) [mm] \in M_k=x\,.$
[/mm]
(Diese Beschreibung ist natürlich ein wenig zirkulär und daher auch nicht
ganz gut. Besser wäre vielleicht: Der "Funktionswert" [mm] $f(x)\,$ [/mm] für einen Sack
[mm] $x=M_k$ [/mm] hat die Eigenschaft, dass er ein aus dem Sack [mm] $x=M_k$ [/mm] herausgezogenes
Element ist. [Das gilt für alle [mm] $x\,$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $f\,.$])
[/mm]
> während mir der Satz "Jeder Epimorphismus von
> Mengen spaltet" sofort klar ist.
Mir nicht, aber Du bist mir kategorientheoretisch auch weit voraus. 
> Beides sagt jedoch
> dasselbe aus und daher ist es völlig egal, was dir besser
> gefällt.
Dem stimme ich dennoch zu. 
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
> > Und diese Voraussetzungen erfüllen beide Notationen von
> > dir, und auch meine. Ich persönlich bin dafür, soweit es
> > geht auf logische Symbole zu verzichten, aber das kann ja
> > jeder handhaben, wie er möchte.
>
> ich persönlich habe die Erfahrung gemacht, dass man am
> Besten erstmal
> drauf verzichtet und sie *langsam* - also ab und an - ins
> Spiel bringt. Das hat
> den Vorteil, dass man nicht direkt mit den logischen
> Symbolen erschlagen
> wird und dass man zudem nach und nach lernt, sie zu
> verstehen (wenn
> man eine Fremdsprache lernt, lernt man ja auch nicht direkt
> alle möglichen
> komplexen Ausdrücke und Sätze).
> Durch das *langsame Angewöhnen* merken die Leute dann auch
> nach und
> nach, sich die Sachen einzuprägen und nutzen sie selbst
> an gewissen Stellen,
> sobald sie sie selbst als praktikabel erachten. (Wenn man
> in einem Text 10
> mal "Für alle natürlichen Zahlen [mm]n\,[/mm] ..." geschrieben
> hat, ist man es irgendwann
> auch Leid und will das abkürzen: [mm]\forall n \in \IN[/mm] ...).
Natürlich geht es so und es versteht auch jeder (mich eingeschlossen). Bei so etwas ist es wirklich nur noch Geschmackssache, ob man schreibt: "Ist [mm] $n\in\IN$, [/mm] so gilt...", oder "Ist $n$ natürlich, so gilt...", "Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt..." oder was auch immer. Ich finde es schon rein optisch schöner, wenn man sich auf die deutsche Sprache einlässt. Wenn es in Büchern logische Symbole gibt, wie hier, Proposition 2.11.2 finde ich mich meistens doch wieder dabei, wie ich mit Bleistift eine ausformulierte Variante daneben schreibe.
> > Ich persönlich brauche 20
> > min um zu verstehen, was mit dem Auswahlaxiom
> >
> hier
> > gemeint ist,
>
> Ehrlich? Du hast das ja auch
>
> hier
>
> mal kritisiert.
>
> Ich finde es eigentlich sehr natürlich: Stelle Dir Mengen
> als eine Ansammlung
> nichtleerer Säcke vor. Jeder Sack ist "indiziert", wir
> haben also eine Familie
> [mm]\{M_i: i \in I\}[/mm] von nichtleeren "Säcken" bzw. Mengen
> [mm]M_i.[/mm] Die Aussage ist:
> "Ich kann in jeden Sack reingreifen und dann immer
> wenigstens ein
> Element aus dem Sack rausziehen."
Natürlich, so wie du das formulierst ist es ja auch mehr als "entprädikatenlogisiert". Mir ging es um die drei Zeilen logische Symbole auf der verlinkten Wikipedia-Seite.
> Ich finde das sehr anschaulich, wobei meine Anschauung
> natürlich gerade
> für die interessanten Fälle, dass [mm]I\,[/mm] abzählbar
> unendlich oder gar überabzählbar
> ist, flöten geht. (Im Falle der Endlichkeit von [mm]I\,[/mm] ist
> das Axiom kein Axiom, sondern
> sogar beweisbar.)
>
> Um obige Anschauung "mit Funktionen" zu beschreiben, das
> geht dann so:
> Es existiert eine (Auswahl-)Funktion (der "Zugreifer") [mm]f \colon \{M_i: i \in I\} \to \bigcup_{i \in I} M_i[/mm]
> (rechts
> steht "der Zusammenwurf aller Elemente der Mengen [mm]M_i[/mm]")
> derart, dass
>
> für alle [mm]x \in \{M_i: i \in I\}[/mm] gilt [mm]f(x) \in x\,.[/mm]
>
> Was bedeutet das? Egal, in welchen Sack [mm]x=M_k[/mm] (mit einem [mm]k \in I[/mm])
> ich mit [mm]f\,[/mm] "packe",
> es ist so, dass [mm]f(x)\,[/mm] die Eigenschaft hat, "ein aus
> diesem Sack rausgezogenes
> Element" zu sein. Also: Dass es aus dem Sack [mm]M_k=x[/mm] kommt:
> [mm]f(x) \in M_k=x\,.[/mm]
> (Diese Beschreibung ist natürlich ein
> wenig zirkulär und daher auch nicht
> ganz gut. Besser wäre vielleicht: Der "Funktionswert"
> [mm]f(x)\,[/mm] für einen Sack
> [mm]x=M_k[/mm] hat die Eigenschaft, dass er ein aus dem Sack [mm]x=M_k[/mm]
> herausgezogenes
> Element ist. [Das gilt für alle [mm]x\,[/mm] aus dem
> Definitionsbereich von [mm]f\,.[/mm]])
>
> > während mir der Satz "Jeder Epimorphismus von
> > Mengen spaltet" sofort klar ist.
>
> Mir nicht, aber Du bist mir kategorientheoretisch auch weit
> voraus.
Wenn man meine Formulierung elementar aufschreibt, wird daraus: Jede surjektive Abbildung hat eine rechtsinverse.
Die Äquivalenz sieht man leicht ein:
Deine Formulierung: Sei [mm] $(X_i)$ [/mm] eine Familie nicht leerer Mengen. Dann gibt es eine Funktion [mm] $I\xrightarrow{\ \ f\ \ }\bigcup X_i$ [/mm] welche [mm] $fi\in X_i$ [/mm] für jedes $i$ erfüllt.
Eine übliche Formulierung: Sei [mm] $(X_i)$ [/mm] eine Familie nicht leerer Mengen. Dann ist das kartesische Produkt [mm] $\prod X_i$ [/mm] nichtleer.
Meine Formulierung: Sei [mm] $X\xrightarrow{\ \ g\ \ }Y$ [/mm] eine surjektive Abbildung. Dann gibt es ein [mm] $Y\xrightarrow{\ \ h\ \ }X$ [/mm] mit [mm] $gh=1_Y$.
[/mm]
[mm] $(i)\implies [/mm] (ii)$: Sei [mm] $(X_i)$ [/mm] eine Familie nichtleerer Mengen. Dann gibt es eine Funktion $f$ wie oben. Für diese gilt [mm] $(fi)_{i\in I}\in\prod X_i$.
[/mm]
[mm] $(ii)\implies(iii)$: [/mm] Sei $g$ wie oben. Für [mm] $i\in [/mm] Y$ ist dann [mm] $X_i:=\{x\in X\mid gx=i\}$ [/mm] nichtleer. Also gibt es ein [mm] $(x_i)\in\prod X_i$. [/mm] Definiere $h$ durch [mm] $i\longmapsto x_i$. [/mm] Für [mm] $i\in [/mm] I$ gilt dann [mm] $hi=x_i\in X_i=\{x\in X\mid gx=i\}$, [/mm] also $ghi=i=1_Yi$.
[mm] $(iii)\implies [/mm] (i)$: Sei [mm] $(X_i)$ [/mm] nichtleer. [mm] $\coprod X_i\xrightarrow{g}I$ [/mm] durch [mm] $X_i\ni x\longmapsto [/mm] i$ (dies ist wohldefiniert, da es genau ein [mm] $X_i$ [/mm] mit [mm] $x\in X_i$ [/mm] gibt, disjunkte Vereinigung.) Da die [mm] $X_i$ [/mm] nichtleer sind, ist die Abbildung surjektiv, hat also eine rechtsinverse $h$ mit $gh=1$, also $ghi=i$. Da [mm] $gx=i\iff x\in X_i$, [/mm] muss [mm] $hi\in X_i$ [/mm] gelten. Jetzt definiere [mm] $I\xrightarrow{\ \ f\ \ } \bigcup X_i$ [/mm] durch [mm] $i\longmapsto [/mm] hi$ und wir sind fertig.
Eine weitere nützliche Formulierung ist übrigens: Jede Äquivalenzrelation hat ein Repräsentantensystem, und in dieser Form wird es Anfängern oft untergejubelt, etwa wenn man den allgemeinen Satz von Lagrange beweist.
Interessant ist auch, dass im bekannten Analysis Buch von Amann und Escher meine Formulierung eine der allerersten Aufgaben ist, wo man vom Auswählen noch nie etwas gehört hat, und dass in der selben Aufgabe behauptet wird, jede injektive Funktion hätte eine linksinverse, was falsch ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> und dass in der selben Aufgabe behauptet wird, jede injektive Funktion hätte eine linksinverse, was falsch ist.
Warum?
Laut Wikipedia ist die Existenz einer Linksinversen sogar eine Definitionsmöglichkeit für Injektivität, d.h.
Injektiv [mm] \gdw [/mm] Existenz einer Linksinversen.
(Natürlich unter der Voraussetzung, dass die Ausgangsmenge nicht leer ist)
Gruß,
Gono.
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Ja, diese Voraussetzung ist aber wesentlich!
Die konzeptionell beste Definition für Injektivität ist übrigens "linkskürzbarkeit". Dies motiviert Monomorphismen in allgemeinen Kategorien. Dort kann man zeigen, dass linksinvertierbarkeit zu linkskürzbarkeit führt. Das umgekehrte gilt aber nicht immer (wie dein Beispiel zeigt). Linksinvertierbare Pfeile nennt man "spaltende Monomorphismen".
Die Surjektiven Abbildungen sind genau die rechtskürzbaren Abbildungen, auch Epimorphismen. Dass alle Epimorphismen spalten ist die Aussage des Auswahlaxioms, und dies motiviert allgemeiner das Auswahlaxiom in einem Topos oder allgemeiner Prätopos, oder sogar in beliebigen Kategorien (wo der Nutzen allerdings begrenzt ist).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, diese Voraussetzung ist aber wesentlich!
was bedeutet bei Euch denn die Aussage "Die Ausgangsmenge ist nicht
leer."
Meint ihr mit Ausgangsmenge den Definitionsbereich? Denn natürlich sollte
bei Amann/Escher irgendwo stehen, dass er nur *interessante* Funktionen
betrachtet, womit gemeint ist, dass man nur Funktionen
$f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$
betrachtet, wo $A [mm] \not=\varnothing$ [/mm] ist. Damit muss auch $B [mm] \not=\varnothing$ [/mm] sein, denn es gibt
nur eine Funktion
$f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to \varnothing$:
[/mm]
Nämlich die leere Funktion
$f [mm] \colon \varnothing \to \varnothing$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Link
ich sagte ja nicht, dass das nicht so dort stünde. Das Problem ist aber
vielmehr, dass in dem Buch nicht ganz aufgepasst wird. Auf Seite 17 wird
noch erzählt, dass der Fall [mm] $X=\varnothing$ [/mm] NICHT ausgeschlossen wird. Du darfst
die Autoren gerne auf diesen Fehler hinweisen. (Ist [mm] $X=\varnothing$ [/mm] aber $Y [mm] \not=\varnothing\,,$ [/mm] so
ist $f [mm] \colon \varnothing \to [/mm] Y$ zwar injektiv, aber es gibt keine Abbildung $h [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to \varnothing$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 06.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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