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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 30.10.2007 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | Es seien A, B, C, D Ereignisse in einem Grundraum [mm] \Omega. [/mm] Wie lauten die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise?
a) Unter den vier Ereignissen tritt nur Ereigniss C ein..
b) Es treten genau zwei der vier Ereignisse ein
c) Es treten mindestens drei der vier Ereignisse ein
d) Es tritt höchstens eins der vier Ereignisse ein |
Ich hoffe dass irgendjemand etwas mit der Aufgabe anfangen kann. ich hab mich auch schon daran versucht, bin mir aber jetzt nicht sicher ob das richtig ist bzw wie man sowas formell richtig aufschreibt. ich hoffe es kann mir jemand helfen Hier meine lösungsvorschläge.
a) [mm] C=\Omega\setminus A\cap B\cap [/mm] D
b) [mm] A\cap B\cup A\cap C\cup A\cap D\cup B\cap C\cup B\cap D\cup C\cap [/mm] D
c) [mm] A\cap B\cap C\cap D\cup A\cap B\cap C\cup A\cap B\cap D\cup A\cap C\cap D\cup B\cap C\cap [/mm] D
d) [mm] A\cup B\cup C\cup [/mm] D
wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte ob ich total falsch liege mit meiner lösung oder ob man das so machen kann.
gruß trixi
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> Es seien A, B, C, D Ereignisse in einem Grundraum [mm]\Omega.[/mm]
> Wie lauten die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise?
>
> a) Unter den vier Ereignissen tritt nur Ereigniss C ein..
> b) Es treten genau zwei der vier Ereignisse ein
> c) Es treten mindestens drei der vier Ereignisse ein
> d) Es tritt höchstens eins der vier Ereignisse ein
> Ich hoffe dass irgendjemand etwas mit der Aufgabe anfangen
> kann. ich hab mich auch schon daran versucht, bin mir aber
> jetzt nicht sicher ob das richtig ist bzw wie man sowas
> formell richtig aufschreibt. ich hoffe es kann mir jemand
> helfen Hier meine lösungsvorschläge.
>
> a) [mm]C=\Omega\setminus A\cap B\cap D[/mm]
Kann ich nicht nachvollziehen. Wie wärs statt dessen mit [mm] $\overline{A}\cap\overline{B}\cap C\cap \overline{D}$? [/mm] (wobei [mm] $\overline{X} [/mm] := [mm] \Omega\backslash [/mm] X$)
> b) [mm] $A\cap B\cup A\cap C\cup A\cap D\cup B\cap C\cup B\cap D\cup C\cap [/mm] D$
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dieses Ereigniss tritt auch ein, wenn z.B. $A,B,C,D$ alle gleichzeitig eintreten. Verlangt ist aber, dass das Ereigniss genau dann eintritt, wenn genau zwei der vier Ereignisse eintreten. Du musst also diese [mm] $\binom{4}{2}=6$ [/mm] paarweisen Durchschnitte noch mit den (zu [mm] $\Omega$ [/mm] relativen) Komplemente der anderen beiden Ereignisse schneiden. Dies ergibt:
[mm] [center]$A\cap [/mm] B [mm] \cap\overline{C}\cap\overline{D}\cup A\cap \overline{B}\cap C\cap\overline{D}\cup A\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap D\cup \overline{A}\cap B\cap C\cap\overline{D}\cup \overline{A}\cap B\cap \overline{C}\cap D\cup \overline{A}\cap\overline{B}\cap C\cap [/mm] D$[/center]
>
> c) [mm] $\blue{A\cap B\cap C\cap D}\cup A\cap B\cap C\cup A\cap B\cap D\cup A\cap C\cap D\cup B\cap C\cap [/mm] D$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , denn hier ist es, im Unterschied zu b), zulässig, dass auch mehr als drei (also alle vier) Ereignisse $A,B,C,D$ gleichzeitig eintreten. Nur denke ich, dass der blau markierte Durchschnitt aller vier Ereignisse $A,B,C,D$ nicht benötigt wird (aber auch nicht schadet). Es würde also meiner unmassgeblichen Meinung nach bereits genügen zu schreiben:
[mm] [center]$A\cap B\cap [/mm] C [mm] \cup A\cap B\cap C\cup A\cap B\cap D\cup A\cap C\cap D\cup B\cap C\cap [/mm] D$[/center]
> d) [mm] $A\cup B\cup C\cup [/mm] D$
Dieses Ereignis tritt doch z.B. auch ein, wenn sowohl $A$ als auch $B$ eintreten. Es darf aber nur dann eintreten, wenn höchstens eines der vier Ereignisse $A,B,C,D$ eingetreten ist. Ich würde deshalb die Vereinigung von "keines" mit "genau eines" bilden, etwa so:
[mm] [center]$\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap\overline{D}\cup A\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap\overline{D}\cup \overline{A}\cap B\cap\overline{C}\cap\overline{D}\cup \overline{A}\cap\overline{B}\cap [/mm] C [mm] \cap\overline{D}\cup \overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap [/mm] D$[/center]
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