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Hallo,
es ist echt hart als Doofkopf die Übungsblätter der Uni alleine zu machen. Aber zum Glück gibts euch.
Aufgabe: Es seien M ein nichtleeres Mengensystem und A eine Menge, Zeigen Sie, dass dann gilt:
A [mm] \cup( \bigcap_{B \in M} [/mm] B ) = [mm] \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
Mein Ansatz:
Behauptung: (siehe das, was zu beweisen ist, gilt)
Es gilt: x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in \bigcap_{B \in M} [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) für alle B [mm] \in [/mm] M
[mm] \gdw \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
In Worten:
Ich nehme mir ein beliebiges x aus A [mm] \cup( \bigcap_{B \in M} [/mm] B ). Dann ist dieses x endweder in A oder in [mm] \bigcap_{B \in M} [/mm] B - oder in beiden. Aber x ist auf jeden Fall in der Vereinigung von A und B.
Ist das richtig? Bitte sagt ja. Ich bin hier sowas von am verzweifeln.
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> Hallo,
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> es ist echt hart als Doofkopf die Übungsblätter der Uni
> alleine zu machen. Aber zum Glück gibts euch.
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> Aufgabe: Es seien M ein nichtleeres Mengensystem und A eine
> Menge, Zeigen Sie, dass dann gilt:
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> $A [mm] \cup( \bigcap_{B \in M} [/mm] B ) = [mm] \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
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> Mein Ansatz:
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> Behauptung: (siehe das, was zu beweisen ist, gilt)
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> Es gilt: $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in \bigcap_{B \in M} [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ für alle $B [mm] \in [/mm] M [mm] \gdw \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
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> In Worten:
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> Ich nehme mir ein beliebiges x aus $A [mm] \cup( \bigcap_{B \in M} [/mm] B )$. Dann ist dieses x endweder in A oder in [mm] $\bigcap_{B \in M} [/mm] B$ - oder in beiden. Aber x ist auf jeden Fall in der
> Vereinigung von A und B.
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> Ist das richtig? Bitte sagt ja. Ich bin hier sowas von am
> verzweifeln.
Was Du überlegt hast, mag schon in Ordnung sein, aber an Deiner Stelle würde ich alles möglichst sauber (sag meinetwegen: pedantisch) hinschreiben, damit nicht ein Fall vergessen geht.
Du willst also die Äquivalenz $A [mm] \cup \bigcap_{B \in M} [/mm] B = [mm] \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ beweisen. Diesen Beweis zerlegst Du in zwei Schritte:
1. Schritt: Beweis von $A [mm] \cup \bigcap_{B \in M} [/mm] B [mm] \subseteq \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup\bigcap_{B \in M} [/mm] B$, also [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] B$. Zu zeigen ist [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
Ist [mm] $x\in [/mm] A$, so gilt auch für alle [mm] $B\in [/mm] M$, dass [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ ist, also ist [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
Ist [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] B$, so ist [mm] $x\in [/mm] B$, für alle [mm] $B\in [/mm] M$ und daher auch [mm] $x\in A\cup [/mm] B$, für alle [mm] $B\in [/mm] M$, d.h. [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
Damit ist diese Richtung der Inklusion bewiesen.
2. Schritt: Beweis von $A [mm] \cup\bigcap_{B \in M} [/mm] B [mm] \supseteq \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
Sei [mm] $x\in \bigcap_{B \in M} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$. Zu zeigen ist [mm] $x\in A\cup \bigcap_{B\in M}B$.
[/mm]
Es gibt zwei Möglichkeiten: entweder ist [mm] $x\in [/mm] B$, für alle [mm] $B\in [/mm] M$. Dann ist aber auch [mm] $x\in\bigcap_{B \in M} [/mm] B$ und daher [mm] $x\in A\cup \bigcap_{B \in M} [/mm] B$.
Ist jedoch [mm] $x\notin B_0$ [/mm] für ein [mm] $B_0\in [/mm] M$, so muss, wegen [mm] $x\in \bigcap_{B\in M}(A\cup [/mm] B)$ auch [mm] $x\in A\cup B_0$ [/mm] und, wegen [mm] $x\notin B_0$, [/mm] also [mm] $x\in [/mm] A$ sein. Daraus folgt aber sogleich [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup\bigcap_{B \in M} [/mm] B$.
Damit ist auch diese Richtung der Inklusion bewiesen, weshalb die behauptete Äquivalenz gilt.
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