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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Betman |
| Aufgabe | Seien M,N,T Mengen. Zeigen Sie:
[mm] M\cap (N\cup M)=M\cup (N\cap [/mm] M)=M |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich "wandel" den ersten teil derMengenverknüpfung erstmal in aussagen um, so dass
[mm] (x\in M\wedge x\in N)\vee (x\in M\wedge x\in [/mm] M)
da [mm] (x\in M\wedge x\in [/mm] M) nur wahr ist für [mm] x\in [/mm] M kann ich nun auch schreiben
[mm] (x\in M\wedge x\in N)\vee x\in [/mm] M
was wiederum zurück zu Mengen [mm] M\cup (N\cap [/mm] M) ergibt... aber wie komme ich dann auf den letzten Teil der Verknüpfung???
vielen dank schonmal
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> Seien M,N,T Mengen. Zeigen Sie:
> [mm]M\cap (N\cup M)=M\cup (N\cap M)=M[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich "wandel" den ersten teil derMengenverknüpfung erstmal
> in aussagen um,
Dieser Weg ist zwar möglich, aber nach meinem Gefühl wohl eher nicht im Sinne des Aufgabenstellers. Ich empfehle Dir eher den Beweis über eine Anwendung folgender Beziehungen zwischen Vereinigung bzw. Durchschnitt und Inklusion für beliebige Mengen $A,B,C$ zu führen:
[mm]A,B\subseteq C\Rightarrow A\cup B\subseteq C[/mm]
[mm]C\subseteq A \Rightarrow C\subseteq A\cup B[/mm]
[mm]C\subseteq A,B \Rightarrow C\subseteq A\cap B[/mm]
[mm]A\subseteq C \Rightarrow A\cap B\subseteq C[/mm]
Diese Beziehungen sind unmittelbar einleuchtend, wenn man sich klar macht, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ die kleinste obere Schranke bzw. [mm] $A\cap [/mm] B$ die grösste untere Schranke von $A$ und $B$ bezüglich der Inklusions(partial)ordnung [mm] $\subseteq$ [/mm] ist.
Aufgrund dieser Beziehungen ist z.B. leicht zu sehen, dass [mm] $M\subseteq M\cap (N\cup M)\subseteq [/mm] M$, also insgesamt [mm] $M\cap (N\cup [/mm] M)=M$.
Analog, dass [mm] $M\subseteq M\cup (N\cap M)\subseteq [/mm] M$, also ingesamt wieder [mm] $M\cup (N\cap [/mm] M)=M$.
Damit wäre dann die gesamte Aussage [mm] $M\cap (N\cup M)=M\cup (N\cap [/mm] M)=M$ bewiesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 30.10.2007 | | Autor: | Betman |
alles klar, das leuchtet schon ein...
vielen dank auf jeden fall!!!
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