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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:56 Fr 14.05.2010 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Der Menger-Schwamm (benannt nach Karl Menger) entsteht, wenn man einen Würfel in 27=3x3x3 gleichgrosse Würfel zerlegt, 7 dieser Würfel entfernt und dies rekursiv mit den übriggebliebenen Teilwürfeln wiederholt.
1.Berechnen Sie die Oberfläche [mm] F_{n} [/mm] und das Volumen [mm] V_{n} [/mm] in Abhängigkeit der Iterationstiefe n
(n=0 entspricht dem vollen Würfel). Welche Werte ergeben sich im Limes n [mm] \to \infty.
[/mm]
2.Berechnen Sie die Hausdor ffdimension des Menger-Schwamms. |
Liebes Forum,
ich ärgere mich gerade mit dem ollen Menger-Schwamm herum (für alle Neugierigen: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia).
Ich dachte mir ich fange erstmal mit der Oberfläche an, aber ich komme da einfach auf keinen grünen Zweig. Mein Ansatz geht wie folgt:
1) Alle Flächen des Würfels verhalten sich identisch. Also muss man nur eine Fläche (Sierpinski-Teppich) ausrechnen und kennt alle anderen 6. Also: [mm] A^{ges}_{n}=6*A^{Flaeche}_{n}
[/mm]
2) In jeder Iteration wird ein kleiner werdendes Stück abgezogen:
n=0: [mm] l*l=l^{2}=F_{0}
[/mm]
n=1: [mm] F_{0}-\bruch{1}{3}*l*\bruch{1}{3}*l=l^{2}(1-\bruch{1}{9})
[/mm]
n=2: [mm] F_{1}-8*\bruch{1}{81}*l^{2}
[/mm]
n=3: [mm] F_{2}-8^{2}*\bruch{1}{9^{3}}*l^{2}
[/mm]
Daraus könnte man jetzt [mm] A^{Flaeche}_{n}=F_{n-1}-\bruch{8^{n-1}}{9^{n}} [/mm] machen. Allerdings gilt dies dann nicht für n=0. So wie ich die Aufgabenstellung verstehe, müsste ich den allerdings mitnehmen in der Folge.
Außerdem wüsste ich nicht, wie ich auf den Grenzwert der Folge schließen könnte:
[mm] l^{2}*(1-\bruch{8^{0}}{9^{1}}-\bruch{8^{1}}{9^{2}}-\bruch{8^{2}}{9^{3}}-...) [/mm] = 1 - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{8^{n}}{9^{n+1}}
[/mm]
An das Volumen habe ich mich dann gar nicht mehr rangetraut :( Kann mir vllt jemand damit helfen?
Liebe Grüße,
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 16.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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