Meromorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Sei f meromorph auf [mm] \IC [/mm] , und sei g eine nichtkonstante ganze Funktion. Sind die folgenden Behauptungen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Aussagen.
(a) [mm] z \mapsto (f(z))^2 [/mm] ist meromorph.
(b) [mm] z \mapsto \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] ist meromorph.
(c) [mm] z \mapsto (g \circ f)(z) [/mm] ist meromorph.
(d) [mm] z \mapsto (f \circ g)(z) [/mm] ist meromorph. |
Hallo Leute,
ich versuche die ganze Zeit mit der Definition von meromorph zurecht zu kommen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich damit umgehen soll.
Bei der b) z.B. hatten wir einen Satz in der Vorlesung, dass wenn f ung holomorphe Funktionen sind, dann ist f/g meromorph, falls g nicht identisch 0 ist. Nach Vorraussetzung ist g ja holomorph, da sie ganz ist und ist auch nicht identisch 0. Aber ich weiß ja nur dass f meromorph ist.
Habe ich das richtig verstanden, dass eine holomorphe Funktion auch meromorph ist, aber eine meromorphe Funktion nicht zwingend holomorph?!
Also kann man den Satz doch nicht anwenden oder?
Und bei den anderen weiß ich garkeine Argumentation, weil ich ja überall Kompositionen habe, aber ja ebenfalls nicht weiß, wie f tatsächlich ist.
Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo,
> Sei f meromorph auf [mm]\IC[/mm] , und sei g eine nichtkonstante
> ganze Funktion. Sind die folgenden Behauptungen richtig
> oder falsch? Begründen Sie Ihre Aussagen.
> (a) [mm]z \mapsto (f(z))^2[/mm] ist meromorph.
> (b) [mm]z \mapsto \bruch{f(z)}{g(z)}[/mm] ist meromorph.
> (c) [mm]z \mapsto (g \circ f)(z)[/mm] ist meromorph.
> (d) [mm]z \mapsto (f \circ g)(z)[/mm] ist meromorph.
> Bei der b) z.B. hatten wir einen Satz in der Vorlesung,
> dass wenn f ung holomorphe Funktionen sind, dann ist f/g
> meromorph, falls g nicht identisch 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach
> Vorraussetzung ist g ja holomorph, da sie ganz ist und ist
> auch nicht identisch 0. Aber ich weiß ja nur dass f
> meromorph ist.
Genau.
> Habe ich das richtig verstanden, dass eine holomorphe
> Funktion auch meromorph ist, aber eine meromorphe Funktion
> nicht zwingend holomorph?!
Ja.
> Also kann man den Satz doch nicht anwenden oder?
Ja.
> Und bei den anderen weiß ich garkeine Argumentation, weil
> ich ja überall Kompositionen habe, aber ja ebenfalls nicht
> weiß, wie f tatsächlich ist.
Aber hier habt doch sicher eine Definition von meromorphen Funktionen gehabt!
Ist $D [mm] \subset \IC$ [/mm] offen und nichtleer, [mm] $P_f \subset \IC$ [/mm] eine Menge isolierter Punkte. $f: D [mm] \backslash P_f \to \IC$ [/mm] ist meromorph, wenn sie holomorph auf ihrem Definitionsbereich ist und in den Stellen $x [mm] \in P_f$ [/mm] Pole besitzt.
Du kannst nun jeweils überprüfen, ob diese Definition erfüllt ist.
Bei (a) zum Beispiel weißt du, dass $f$ meromorph ist, d.h. du hast $D$ und [mm] $P_f$. [/mm] Für [mm] $f^2$ [/mm] kannst du dieselben $D$ und [mm] $P_f$ [/mm] wählen, weil keine Pole dazukommen. Du musst nun nur noch überlegen, dass wenn $x$ eine Polstelle von $f$ ist, dann auch $x$ eine Polstelle von [mm] $f^2$ [/mm] ist. Überprüfe das am Besten auch mir der Definition.
Bei (b) kommen durch das Teilen von $g$ neue Polstellen hinzu. Überlege dir, dass die Nullstellenmenge [mm] $N_g$ [/mm] von $g$ diskret sein muss. Als neue Polstellenmenge von $f/g$ kommt dann [mm] $P_f \cup N_g$ [/mm] in Frage. Du musst aber noch zeigen, dass $f/g$ dort Pole und keine wesentliche Singularität hat.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Katthi |
Hallo Stefan,
danke für deine schnelle Antwort...
ja wir hatten eine Definition und zwar:
Sei [mm] U \subset \IC [/mm] offen und sei [mm] f: U \to \hat{\IC} [/mm] , wobei [mm] \hat{\IC} [/mm] die komplexe Zahlen vereinigt mit unendlich sind, eine Funktion. Wenn folgendes gilt, nennt man f meromorph auf U:
1. [mm] P = f^{-1} (\infty) [/mm] hat keine Häfunspunkte
2. P besteht nur aus den Polstellen von f
3. f: U \ P [mm] \to \IC [/mm] ist holomorph.
irgendwie sehe ich da deine Tipps nicht.
Wenn ich doch weiß, dass f meromorph ist und durch [mm] f^2 [/mm] keine weiteren Polstellen hinzukommen, dann ist doch [mm] f^2 [/mm] auch meromorph oder nicht?!
ich verstehe das mit den Häufungspunkten und den Polstellen irgendwie nciht... also wenn ich jetzt eine Menge habe, auf der f meromorph ist, bedeutet das, wenn ich dann die Polstellen aus der Menge rausnehme, dann ist sie holomorph..
aber wenn ich jetzt neue Singularitäten dazunehme, was verändert sich dann? Bzw. was weiß ich dann über die Funktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Stefan,
> danke für deine schnelle Antwort...
>
> ja wir hatten eine Definition und zwar:
> Sei [mm]U \subset \IC[/mm] offen und sei [mm]f: U \to \hat{\IC}[/mm] , wobei
> [mm]\hat{\IC}[/mm] die komplexe Zahlen vereinigt mit unendlich sind,
> eine Funktion. Wenn folgendes gilt, nennt man f meromorph
> auf U:
> 1. [mm]P = f^{-1} (\infty)[/mm] hat keine Häfunspunkte
..... in U ... !
> 2. P besteht nur aus den Polstellen von f
> 3. f: U \ P [mm]\to \IC[/mm] ist holomorph.
>
> irgendwie sehe ich da deine Tipps nicht.
>
> Wenn ich doch weiß, dass f meromorph ist und durch [mm]f^2[/mm]
> keine weiteren Polstellen hinzukommen, dann ist doch [mm]f^2[/mm]
> auch meromorph oder nicht?!
Ja
>
> ich verstehe das mit den Häufungspunkten und den
> Polstellen irgendwie nciht.
Was verstehst Du nicht ? P hat keine Häufungspnkte in U. Weiter soll jedes p [mm] \in [/mm] P ein Pol von f sein.
> .. also wenn ich jetzt eine
> Menge habe, auf der f meromorph ist, bedeutet das, wenn ich
> dann die Polstellen aus der Menge rausnehme, dann ist sie
> holomorph..
Ja, auf U \ P
> aber wenn ich jetzt neue Singularitäten dazunehme, was
> verändert sich dann? Bzw. was weiß ich dann über die
> Funktion?
Das hängt von g und dr Verknüpfung ab !
f/g ist wieder meromorph auf [mm] \IC. [/mm] Als mögliche zusätzliche Polstellen kommen nue Nullstellen von g in Frage.
Zu c) Sei f(z)=1/z und [mm] g(z)=e^z.
[/mm]
Dann ist (g [mm] \circ [/mm] f)(z)= [mm] e^{1/z}
[/mm]
g [mm] \circ [/mm] f ist auf [mm] \IC [/mm] nicht meromorph, denn g [mm] \circ [/mm] f hat in z=0 eine wesentliche Sing.
Nun mach Dich mal über (d) her.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 So 22.07.2012 | | Autor: | Katthi |
Hallo Fred,
du hast mir schon unglaublich wietergeholfen, viele Dank.
Also bei der d) müsste ich dann ja eine meromorphe Funktion f finden so, dass wenn ich g für z einsetze, eine Singularität entsteht (wenn es nicht meromorph sein soll)..
[mm] f = \bruch{1}{1-z} [/mm] ist doch meromorph, oder? da sowohl der Zähler, als auch der Nenner holomorph sind und der Nenner nicht identisch 0 ist.
dann könnte man ja wieder [mm] g(z) = e^z [/mm] setzen und dann hätte man eine Singularität für z = 0 für [mm] (f \circ g) (z) [/mm].
Ach nee... dann ist das ja keine Polstelle oder? Weil wenn ich den limes bilde, dann geht der ganz bruch gegen 0......
Also wäre es doch meromorph...
Viele Grüße
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> du hast mir schon unglaublich wietergeholfen, viele Dank.
>
> Also bei der d) müsste ich dann ja eine meromorphe
> Funktion f finden so, dass wenn ich g für z einsetze, eine
> Singularität entsteht (wenn es nicht meromorph sein
> soll)..
> [mm]f = \bruch{1}{1-z}[/mm] ist doch meromorph, oder? da sowohl der
> Zähler, als auch der Nenner holomorph sind und der Nenner
> nicht identisch 0 ist.
> dann könnte man ja wieder [mm]g(z) = e^z[/mm] setzen und dann
> hätte man eine Singularität für z = 0 für [mm](f \circ g) (z) [/mm].
>
> Ach nee... dann ist das ja keine Polstelle oder? Weil wenn
> ich den limes bilde, dann geht der ganz bruch gegen
> 0......
> Also wäre es doch meromorph...
(f [mm] \circ [/mm] g) (z)= [mm] \bruch{1}{1-e^z} [/mm] hat genau in den Punkten $2 k [mm] \pi [/mm] i$ Pole erster Ordnung, Ist also meromorph.
FRED
>
> Viele Grüße
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 So 22.07.2012 | | Autor: | Katthi |
Aber wie zeige ich denn, dass das allgemein gültig ist?
Weiß nicht, wenn ich jetzt einfach nur allgemeine Funktionen f und g gegeben habe, wie ich darauf schließen kann, dass die Behauptung allgemein gilt. Bei a) und b) habe ich das verstanden.
Kann man dann einfach sagen, wenn ich ja eine meromorphe Funktion f habe und diese mit einer holomorphen bzw. sogar ganzen Funktion verknüpfe, dann bringt ja die ganze Funktion keine Polstellen mit, sodass die Verknüpfung nicht mehr meromorph ist....
ich hoffe du weißt was ich meine :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Gehe die Sache doch systematisch an: sei P die Menge der Polstellen von f.
Setze h:= f [mm] \circ [/mm] g
Sei [mm] z_0 \in \IC.
[/mm]
Fall 1: [mm] z_0 \notin [/mm] P. Dann gibt es eine Umgebung V von [mm] z_0 [/mm] mit: f ist auf V holomorph. Dann ist auch h auf V holomorph.
Fall 2: [mm] z_0 \in [/mm] P.
Jetzt ist die Frage, was h(w) für w [mm] \to z_0 [/mm] treibt.
Fall 2.1: [mm] g(z_0) \ne [/mm] p für alle p [mm] \in [/mm] P. Dann ist [mm] \limes_{w\rightarrow z_0}h(w)=f(g(z_0)) \in \IC.
[/mm]
h ist also in einer Umgebung von [mm] z_0 [/mm] holomorph. h hat also keinen Pol in [mm] z_0.
[/mm]
Fall 2.2: [mm] g(z_0)=p_0 [/mm] für ein [mm] p_0 \in [/mm] P. Dann g(w) [mm] \to p_0 [/mm] für w [mm] \to z_0, [/mm] somit:
f(g(w)) [mm] \to \infty [/mm] für w [mm] \to z_0.
[/mm]
Damit ist [mm] z_0 [/mm] ein Pol von h.
Fazit:
Fall A: h hat keine isolierten Singularitäten. Dann ist h eine ganze Funktion, also auch meromorph auf [mm] \IC.
[/mm]
Fall B: h besitzt isolierte Singularitäten. Wie obige Ausführungen zeigen, ist jede isol. Sing. von h ein Pol von h.
Fazit-Fazit: h ist auf [mm] \IC [/mm] meromorph.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 22.07.2012 | | Autor: | Katthi |
also noch mal kurz zum verständnis.
da man zeigt, dass h entweder keine isolierten Singularitäten hat, ist es ja klar und wenn man zeigt, dass wenn es welche gibt, diese Polstellen sind, dann ist es meromorph.
Also ist ja die Funktion holomorph mit Ausnahme dieser Polstellen und das bedeutet dann meromorph, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> also noch mal kurz zum verständnis.
>
> da man zeigt, dass h entweder keine isolierten
> Singularitäten hat, ist es ja klar und wenn man zeigt,
> dass wenn es welche gibt, diese Polstellen sind, dann ist
> es meromorph.
> Also ist ja die Funktion holomorph mit Ausnahme dieser
> Polstellen und das bedeutet dann meromorph, oder?!
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Katthi |
ich habe beim nachvollziehen nochmal eine Frage...
wie kann ich denn zeigen, dass die Nullstellen von g(z) in b) nur Polstellen sind und keine wesentlichen Singularitäten sind?!
nur aus der Definition von einer ganzen Funktion kann ich das doch nicht sehen, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich habe beim nachvollziehen nochmal eine Frage...
> wie kann ich denn zeigen, dass die Nullstellen von g(z) in
> b) nur Polstellen sind und keine wesentlichen
> Singularitäten sind?!
> nur aus der Definition von einer ganzen Funktion kann ich
> das doch nicht sehen, oder?!
Hallo Katthi,
Du schon wieder ? Schön, ich bins schon wieder , der FRED.
Dann wollen wir mal ...
Sei [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von g der Ordnung m. Dann gibt es eine Umgebung U von [mm] z_0 [/mm] und eine ganze Funktion h mit:
$ [mm] g(z)=(z-z_0)^m [/mm] h(z)$ und h(z) [mm] \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in [/mm] U.
Nun gibt es 3 Möglichkeiten:
1. [mm] z_0 [/mm] ist keine Polstelle und auch keine Nullstelle von f. Dann gibt es eine Umgebung [mm] U_1 \subseteq [/mm] U von [mm] z_0 [/mm] mit:
f ist auf [mm] U_1 [/mm] holomorph , f(z) [mm] \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in U_1 [/mm] und
[mm] \bruch{f(z)}{g(z)}= \bruch{\phi(z)}{(z-z_0)^m} [/mm] für alle z [mm] \in U_1,
[/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] = f/h.
Es folgt: f/g hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ordnung m.
2. [mm] z_0 [/mm] ist Nullstelle von f der Ordnung n. Dann gibt es eine Umgebung [mm] U_2 \subseteq [/mm] U und eine auf [mm] U_2 [/mm] holomorphe Funktion [mm] h_2 [/mm] mit: f ist auf [mm] U_2 [/mm] holomorph ,
[mm] f(z)=(z-z_0)^nh_2(z) [/mm] und [mm] h_2(z) \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in U_2.
[/mm]
Es folgt:
[mm] \bruch{f(z)}{g(z)}=(z-z_0)^{n-m}*\bruch{h_2(z)}{h(z)} [/mm] für z [mm] \in U_2.
[/mm]
Ist n [mm] \ge [/mm] m, so hat f/g in [mm] z_0 [/mm] keinen Pol (f/g ist auf [mm] U_2 [/mm] holomorph)
Ist n<m, so hat f/g in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ornung m-n.
3. [mm] z_0 [/mm] ist Pol der Ordnung p von f.
Das machst Du jetzt mal. Zeige, dass in diesem Fall die Funktion f/g in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ordnung m+p hat.
Fazit: Nullstellen von g sind entweder hebbare Singularitäten von f/g oder Pole von f/g.
Gruß FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich hab noch eine etwas übersichtlichere Version:
Sei [mm] z_0 \in \IC.
[/mm]
Dann gibt es eine Umgebung U von [mm] z_0, [/mm] auf U holomorphe und nullstellenfreie Funktionen [mm] f_1 [/mm] und [mm] g_1, [/mm] n [mm] \in \IN_0 [/mm] und m [mm] \in \IZ [/mm] mit:
[mm] f(z)=(z-z_0)^mf_1(z) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] U \ { [mm] z_0 [/mm] }
und
[mm] g(z)=(z-z_0)^ng_1(z) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] U .
Ist m=0, so hat f in [mm] z_0 [/mm] keinen Pol und keine Nullstelle.
Ist m>0, so hat f in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle der Ordnung m.
Ist m<0, so hat f in [mm] z_0 [/mm] eine Polstelle der Ordnung -m.
Ist n=0, so hat g in [mm] z_0 [/mm] keine Nullstelle.
Ist n>0, so hat g in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle der Ordnung n.
Dann gilt also:
[mm] \bruch{f(z)}{g(z)}=(z-z_0)^{m-n}* \bruch{f_1(z)}{g_1(z)} [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] U \ { [mm] z_0 [/mm] }.
Ist m-n [mm] \ge [/mm] 0, so ist [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Sing. von f/g . Ist m-n<0, so ist [mm] z_0 [/mm] ein Pol von f/g .
Du siehst also: f/g kann keine wesentliche Singularität haben.
FRED
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