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| Aufgabe | Gegeben sind messbare Abbildungen [mm] f_{n}:(\Omega,\mathcal{A})\to(\overline{\IR},\overline{\math{B}}) [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
a.) Zeige dass [mm] f:\omega\mapsto inf\{f_{n}(\omega)|n\in\IN\} [/mm] messbar ist. |
Guten Abend.
Ich komme bei obiger Aufgabe nicht auf die richtige Idee, obwohl alles ziemlich naheliegend scheint.
Hat jemand einen Denkanstoß für mich?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:32 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sind messbare Abbildungen
> [mm]f_{n}:(\Omega,\mathcal{A})\to(\overline{\IR},\overline{\math{B}})[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> a.) Zeige dass [mm]f:\omega\mapsto inf\{f_{n}(\omega)|n\in\IN\}[/mm]
> messbar ist.
> Guten Abend.
>
> Ich komme bei obiger Aufgabe nicht auf die richtige Idee,
> obwohl alles ziemlich naheliegend scheint.
> Hat jemand einen Denkanstoß für mich?
Es reicht ja zu zeigen, dass [mm] $f^{-1}((-\infty, [/mm] x))$ messbar ist fuer alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Du weisst, dass [mm] $f_n^{-1}((-\infty, [/mm] x))$ messbar ist fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Versuch mal zu zeigen, dass [mm] $f^{-1}((-\infty, [/mm] x)) = [mm] \bigcup_{n \in \IN} f_n^{-1}((-\infty, [/mm] x))$ ist, $x [mm] \in \IR$. [/mm] Hast du eine Idee was dir das bringen koennte?
LG Felix
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Hallo Felix.
Vielen Dank für deine Reaktion.
Wenn ich die Gleichheit dieser beiden Mengen zeige, so habe ich auch gezeigt, dass die Abbildung f messbar ist.Da alle Abbildungen [mm] f_{n} [/mm] messbar sind.
Allerdings habe ich Schwierigkeiten die Inklusion [mm] "\supseteq" [/mm] zu zeigen.
Ich werde es weiter versuchen.
Grüße Elvis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis!
> Vielen Dank für deine Reaktion.
> Wenn ich die Gleichheit dieser beiden Mengen zeige, so
> habe ich auch gezeigt, dass die Abbildung f messbar ist.Da
> alle Abbildungen [mm]f_{n}[/mm] messbar sind.
Genau :) (Es sind ja nur abzaehlbar viele Abbildungen.)
> Allerdings habe ich Schwierigkeiten die Inklusion
> [mm]"\supseteq"[/mm] zu zeigen.
> Ich werde es weiter versuchen.
Nehmen wir mal ein [mm] $\omega \in \bigcup_{n \in \IN} f_n^{-1}((-\infty, [/mm] x))$. Dann gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\omega \in f_n^{-1}((-\infty, [/mm] x))$, also mit [mm] $f_n(\omega) [/mm] < x$. Aber damit ist auch [mm] $\inf_{n \in \IN} f_n(\omega) [/mm] < x$, womit [mm] $f(\omega) [/mm] < x$ ist, also [mm] $\omega \in f^{-1}((-\infty, [/mm] x))$.
LG Felix
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Vielen Dank Felix.
Vor lauter Bäumen habe ich den Wald nicht gesehen... kam nicht auf die Implikation: [mm] "$f_n(\omega) [/mm] < [mm] x$\Rightarrow $\inf_{n \in \IN} f_n(\omega) [/mm] < x$" peinlich. :)
Vielen Dank nochmal.
Grüße Elvis
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Hallo.
bis heute Abend dachte ich, dass ich die [mm] Richtung"\subseteq" [/mm] gelöst habe, allerdings bin ich mir jetzt nicht mehr so sicher.
Ich schreibe mal rein was ich habe:
sei also [mm] y\in f^{-1}((-\infty,x)) \Rightarrow [/mm] es gibt ein [mm] z\in(-\infty,x) [/mm] mit der Eigenschaft [mm] f(y)=inf\{f_{n}(y)|n\in\IN\}=z. [/mm] Nun habe ich gefolgert dass es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt mit [mm] f_{n}(y)=z. [/mm] das ist aber zunöchst nicht offensichtlich.
Ich muss nun hier wohl mit der Messbarkeit der [mm] $f_n$ [/mm] argumentieren.
Kann mir jemand helfen diese Lücke zu schließen?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis
> bis heute Abend dachte ich, dass ich die
> [mm]Richtung"\subseteq"[/mm] gelöst habe, allerdings bin ich mir
> jetzt nicht mehr so sicher.
>
> Ich schreibe mal rein was ich habe:
> sei also [mm]y\in f^{-1}((-\infty,x)) \Rightarrow[/mm] es gibt ein
> [mm]z\in(-\infty,x)[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]f(y)=inf\{f_{n}(y)|n\in\IN\}=z.[/mm]
Genau.
> Nun habe ich gefolgert dass
> es ein [mm]n\in\IN[/mm] gibt mit [mm]f_{n}(y)=z.[/mm] das ist aber zunöchst
> nicht offensichtlich.
Das ist im Allgemeinen falsch.
Denk dran, du brauchst nur [mm] $f_n(y) [/mm] < x$ fuer ein $n$.
> Ich muss nun hier wohl mit der Messbarkeit der [mm]f_n[/mm]
> argumentieren.
Nein, du musst mit dem Infimum argumentieren. Was bedeutet es denn, dass $z$ das Infimum der [mm] $f_n(y)$ [/mm] ist, $n [mm] \in \IN$? [/mm] (Beachte, dass $z < x$ ist.)
LG Felix
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Hallo Felix.
Wenn $z$ das Infimum der [mm] f_n(y) [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] ist, dann bedeutet es, dass [mm] f_n(y)\ge$z$ [/mm] ist für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Da aber $z<x$ gilt, bedeutet dies, dass es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt so dass [mm] f_n(y)
Grüße Elvis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis,
> Wenn [mm]z[/mm] das Infimum der [mm]f_n(y)[/mm] , [mm]n\in\IN[/mm] ist, dann bedeutet
> es, dass [mm]f_n(y)\ge[/mm] [mm]z[/mm] ist für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
Ja, aber das bringt dir noch nichts.
> Da aber [mm]z
> [mm]f_n(y)
Genau. Das ist der springende Punkt :)
> Das bedeutet, dass [mm]y\in f^{-1}_n((-\infty,x))[/mm]
> ist, weshalb die Inklusion folgt.
Ja.
LG Felix
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Vielen Dank für die Mühe die ich dir machen durfte.
Wünsche dir noch einen schönen Tag in Kanada. 
Grüße Elvis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:38 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis
> Vielen Dank für die Mühe die ich dir machen durfte.
> Wünsche dir noch einen schönen Tag in Kanada.
Danke, mittlerweile ist es aber schon eher Abend ;) Dir eine gute Nacht!
LG Felix
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