Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 14.06.2006 | | Autor: | kirayou |
Hallo zusammen!
hab jetzt eine Frage und brauch dringende Hilfe!
wie kann man beweisen,dass eine Funktion (von R nach R) mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen messbar ist.
Vielen Dank!!
kira
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo kirayou,
ich glaube, bei deiner Aufgabe kannst Du so vorgehen: Du musst ja zeigen, dass jedes Urbild einer messbaren Teilmenge von [mm] \IR
[/mm]
unter der Funktion f auch wieder messbar ist. Sei [mm] A\subseteq \IR [/mm] messbar. Seien [mm] u_i,i\in\IN [/mm] mit oE [mm] i
vielen Unstetigkeitsstellen von f. Dann ist [mm] f^{-1}(A)=\bigcup_{i} (f^{-1}(A)\cap (u_i,u_{i+1})\: )\:\:\:\cup\bigcup_{i}f^{-1}(A)\cap\{u_i\})
[/mm]
Die rechte dieser beiden Teilmengen ist abzählbar und als solche eine Menge vom Maß 0.
Nun ist [mm] f^{-1}(A)\cap (u_i,u_{i+1})= f^{-1}(A\cap f((u_i,u_{i+1}))) [/mm] das Urbild einer messbaren Menge unter einer auf dem Intervall [mm] (u_i,u_{i+1})
[/mm]
stetigen Abbilldung, also messbar, und die noch verbliebene ''linke'' Menge ist also als abzählbare Vereinigung solcher auch messbar.
Viele Grüsse
just-math
|
|
|
|
