Messbarkeit < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 07.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | [mm](\Omega,A)[/mm] sei ein messbarer Raum und [mm]f,g : \Omega \to \bar{\IR} [/mm] seien [mm]\mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}}[/mm] messbar
i) [mm]f+g[/mm] ist [mm]\mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}}[/mm] messbar, falls [mm]f(\omega)+g(\omega)[/mm] für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm] existiert
ii) [mm]f\cdot g[/mm] ist [mm]\mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}}[/mm] messbar |
Ich gehöre leider nicht zu denjeniegen, die sagen dürfen "aus Stetigkeitsgründen gilt die Aussage"
[mm]f : \Omega \to \IR [/mm] heißt [mm] \mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}}[/mm] messbar, falls [mm]f^{-1}(B)\in \mathcal{A} \forall B\in \bar{\mathcal{B}}[/mm]
i) Wir sollen benutzen, dass [mm]\{\omega : f(\omega)+g(\omega)
Setze [mm]h(\omega) := f(\omega)+g(\omega)[/mm]. z.z.: [mm]h^{-1}(B)\in \mathcal{A} \forall B\in \bar{\mathcal{B}}[/mm].
Außerdem weiß ich natürlich [mm]Bild(f+g) = \{\omega : f(\omega)+g(\omega)
Ich bräuchte zumindest einen Ansatz.
ii) Das gleiche in Grün nur umständlicher.
Für rellwertige Funktionen gilt es dann wegen (i)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 So 08.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu i):
Sei x [mm] \in \IR. [/mm] Für r [mm] \in \IQ [/mm] sei
[mm] $A_r:=\{\omega \in \Omega: f(\omega)
Dann gilt: [mm] $\{\omega \in \Omega: (f+g)(\omega)
Zu ii):
Zeige zunächst: ist
$ h : [mm] \Omega \to \IR [/mm] $ eine $ [mm] \mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}} [/mm] $ messbare Fkt. , so ist [mm] h^2 [/mm] ebenfalls $ [mm] \mathcal{A}-\bar{\mathcal{B}} [/mm] $ messbar. Dann verwende:
$2fg= [mm] (f+g)^2-f^2-g^2 [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 10.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
danke dir.
Das hat mir geholfen.
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