Messbarkeit, Konstante Fkt. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:55 Mo 29.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sein [mm] (A_n)_{n\in \IN }eine [/mm] Partition der Menge [mm] \Omega. [/mm] Mit [mm] \mathcal{A} [/mm] bezeichnen wir die durch [mm] (A_n) [/mm] erzeugte [mm] \sigma- [/mm] ALgebra. [mm] \mathcal{A}= \sigma(A_n [/mm] , n [mm] \in \IN)
[/mm]
Zeige, dass f: [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] -> [mm] (\IR, B(\IR)) [/mm] genau dann messbar ist, wenn f konstant ist auf allen [mm] A_n
[/mm]
(b) Anwendung Irrfahrt
Wir definieren einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal [/mm] F) und Zufallsvariablen [mm] X_i [/mm] : [mm] \Omega \rightarrow \{+1,-1 \}.
[/mm]
Seien [mm] (A_i) [/mm] die Mengen definiert durch [mm] A_i [/mm] = [mm] X^{-1}_i(+1) [/mm] (i = [mm] 1,\dots,n) [/mm] und [mm] (B_m)_{m = 1,\dots,2^n} [/mm] die daraus erzeugte Partition von [mm] \Omega.
[/mm]
Mit [mm] \mathcal [/mm] A bezeichnen wir die von [mm] (B_m) [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra: \mathcal [/mm] A = [mm] \sigma(B_m, [/mm] m = [mm] 1,\dots,2^n).
[/mm]
Zeige, dass f : [mm] (\Omega, \mathcal [/mm] A) [mm] \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal B(\mathbb{R})) [/mm] genau dann messbar ist, wenn f eine Funktion der Zufallsvariablen [mm] (X_i) [/mm] ist. |
<= Sei f konst auf allen Mengen [mm] A_n
[/mm]
[mm] f(A_n)=a_n [/mm] mit n [mm] \in \IN, a_n \in \IR
[/mm]
Sei G Erzeugendensystem von [mm] B(\IR)
[/mm]
ZZ.: [mm] f^{-1}(G) \subset \mathcal{A} [/mm]
Als Erzeugende der Borel'schen ALgebra wähle ich G= [mm] \{ ( - \infty, c]: c \in \IQ \}
[/mm]
c [mm] \in \IQ [/mm] beliebig : [mm] f^{-1} ((-\infty,c]) [/mm] = [mm] \bigcup_{i\inI} A_i [/mm] mit [mm] I=\{i \in \IN, f(A_i)=a_i \le c \}
[/mm]
[mm] A_i \in \mathcal{A} [/mm] => [mm] \bigcup_{i\inI} A_i \in \mathcal{A}
[/mm]
=> Wid.beweis.
Ang f nicht konstant auf [mm] A_i
[/mm]
d.h. f(a) [mm] \not= [/mm] f(b) mit [mm] a\not=b \in A_i
[/mm]
f(a ) [mm] \in \IR \in B(\IR)
[/mm]
Warum sollte nun bei [mm] f^{-1} [/mm] (f(a)) [mm] \subset \mathcal{A} [/mm] ein Widerspruch folgen?
b) soll eine triviale Konsequanz seien? Ich verstehe diese aber nicht!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mo 29.04.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die erzeugte Sigma Algebra besteht aus allen nur denkbaren Vereinigungen von Mengen [mm]A_i[/mm] (wegen der Disjunktheit dieser).
Ist die Funktion nicht konstant auf einem [mm]A_i[/mm] so kann
[mm]f^{-1}\big(f(a)\big)[/mm] nicht in der Sigma-Algebra sein. Denn es wäre nur eine Teilmenge von [mm]A_i[/mm]. Dies kann nicht sein da alle Schnitte leer sind.
zu b) Überlege dir ob die ZV's nach a) messbar sind und anschließend welche messbarkeitsargumente für verkettet funktionen gelten.
Grüße
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