Messbarkeit von Funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 29.03.2006 | | Autor: | bluehawk |
| Aufgabe | Es sei I ein Intervall, es seien f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und g: I [mm] \to \IR. [/mm] Zeigen Sie:
a) Wenn f monoton und g messbar sind, so ist f [mm] \circ [/mm] g:I [mm] \to \IR [/mm] messbar.
b) Wenn f stetig und g messbar sind, so ist f [mm] \circ [/mm] g:I [mm] \to \IR [/mm] messbar |
So ich habe diese Frage auf einer Hausaufgabe von mir. Die Hausaufgabe ist schon lange vorbei aber ich bereite mich gerade auf die Klausur vor und würde gerne wissen wie man obiges rechnet.
Meine Ursprüngliche Idee war
a) g ist Messbar
[mm] \Rightarrow \exists (\varphi_n)_n [/mm] folge von Treppenfunktionen mit [mm] \varphi_n \to g [/mm] f.ü.
setze [mm] \psi_n=f(\varphi_n) [/mm]
[mm] \Rightarrow (\psi_n)_n [/mm] ist Folge von Treppenfunktion
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \psi_n \to f \circ g [/mm] f.ü. wg. def von [mm] \psi_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist messbar
Leider habe ich da ja nicht die monotonie verwendet also würde der gleiche Beweis auch für teilaufgabe b gelten - was ich für hochgeradig unwahrscheinlich halte. Auf a gab es zwei Punkte und auf b drei Punkte.
Wüsste also gerne wie man diese Aufgabe löst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bluehawk,
auch für dich nochmal: da das forum ein ort sozialer zusammenkunft ist (schön gesagt, oder?), ist es hier üblich die anderen, von denen man ja schließlich auch noch hilfe erwartet, freundlich zu begrüßen!
zu deiner aufgabe: ich fürchte, so geht das nicht. Vielleicht hast du auch schon gemerkt, dass in der Zeile
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $$ [mm] \psi_n \to [/mm] f [mm] \circ [/mm] g $f.ü. wg. def von $ [mm] \psi_n [/mm] $
der entscheidende Schritt liegt, der aber unter der Voraussetzung der Monotonie von $f$ so nicht vollzogen werden kann. Ist f stetig, so sollte das gehen, dann kann man punktweise die folgenstetigkeit von f ausnutzen. So kannst du also aufgabe b) beantworten.
Monotone funktionen müssen zwar f.ü. stetig sein, das reicht hier aber nicht. Für deine Aufgabe a) würde ich vermutlich mit einer anderen def. von meßbar arbeiten, nämlich dass
[mm] $\{x|f(x)> a\}$
[/mm]
meßbar in [mm] $\IR$ [/mm] ist [mm] $\forall a\in \IR$. [/mm] Hattet Ihr diese def. auch? Ich würde mir zunächst
[mm] $\{x|f(g(x))> a\}$
[/mm]
anschauen und überlegen, ob man von dem $a$ zu einem geeigneten [mm] $\tilde [/mm] a$ mit [mm] $\tilde [/mm] a=f(?)$ übergehen kann. Dann kann man nämlich auch die monotonie ins spiel bringen.
Wie gesagt, das sind nur ideen. Weiß nicht, ob es wirklich zum ziel führt.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 29.03.2006 | | Autor: | bluehawk |
Hallo Matthias,
das mit dem Ort sozialer Zusamenkunft ist tatsächlich eine schöne Formulierung ;). Ich muss dir natürlich recht geben, dass es unhöflich ist möchte mich in aller Form entschuldigen.
Diese Afugabe hat mich heute schon so lange gequält, dass es wohl auf die Manieren durchgeschlagen ist ;).
Ich werde mal probieren was du vorgeschlagen hast und schauen ob ich damit weiter komme.
Ob wir genau die genannte Definition benutz haben kann ich dir nicht sagen. Allerdings stellt diese den lange gesuchten Zusammenhang zur zweiten Aufgabe her. Ist also gut möglich. Werde nachher mal meinen Versuch posten.
Vielen Dank erst einmal für deine Hilfe.
Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 02.04.2006 | | Autor: | bluehawk |
Hallo Matthias,
also jetzt die Frage ob mein weg hier richtig ist. Bin eigentlich zufrieden damit. Ich führe den Beweis nur für f monoton steigend, da für monoton fallend der Beweis analog geführt wird. Also ausgehend von deiner Definition.
g ist messbar
[mm] \Rightarrow \forall c \in \IR \ ist \ \{x| g \ge x \} \ messbar [/mm]
[mm]\Rightarrow \{x| g \ge c\} = \{x| f \circ g \ge f(c) \} \quad \alpha:= f(c) [/mm]
[mm]\Rightarrow \{x| f \circ g \ge \alpha \} \ messbar [/mm]
[mm]\Rightarrow f \circ g \ messbar [/mm]
Alerdings habe ich ein Problem - ich kenne diese Definition nicht und habe sie auch in keinem meiner Bücher gefunden. Ich habe mich gefragt wie kommt man von meiner Definition (Treppenfkt fast überall) auf diese Definition. Ich habe mit einen Weg zurecht gezimmert, bei dem ich aber auch noch nicht so recht weiß was ich davon halten soll. Ich brauche auch als Vorraussetzung, dass das Maß eines Quaders im [mm] R^n [/mm] gegeben ist als
[mm] \mu(I)=(b_1-a_1)* \ldots *(b_n-a_n) [/mm]
Dieser Rückgriff auf das Volumen und meiner willkürlichen gleichsetzung mit Maß macht mich etwas unglücklich. Hier also mein Weg von meiner zu deiner mir unbekannten Definition.
[mm]g:I \to \IR [/mm] ist meßbar
[mm]\Rightarrow \exists (\varphi_n)_n \quad \varphi_n \to g \ f.u.[/mm]
[mm]\Rightarrow \exists I_k \subset I ,\quad I= \bigcup I_k [/mm]
[mm]\Rightarrow \exists \mu(I) = \summe \mu(I_k)[/mm]
Also ist I messbar und damit auch alle Teilmengen von I, wobei natürlich
[mm]\{x|g \ge a\}, a \in \IR[/mm]
eine Teilmenge von I ist. Die ersten Schlüsse ziehe ich alle aus der Definition der Treppenfkt (nicht überlappende Quader etc.).
Ist dieser Beweis richtig beziehungsweise überhaupt schlüssig? Zudem sehe ich bei dieser Herleitung nicht die Rückrichtung. Damit ich den letzten Schluss der ursprünglichen Aufgabe machen kann, müsste auch die Rückrichtung gelten. Offenbar gilt die wie trivial sichtbar in jedem Schritt - bis auf den Übergang von der Folge der Treppenfunktionen zu den Quadern. Kann ich irgendwie rückwärts schließen das wenn ich diese Quader habe, jede beliebige Funktion g f.ü. approximieren kann? Wenn das nicht geht dann ist der Beweis natürlich wertlos.
Vielen Dank schon mal im Vorraus
Robert
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Guten Morgen zusammen,
zuerst mal zu Deinem ursprünglichen Ansatz: Wenn [mm] \varphi_n,n\in\IN [/mm] eine Folge von Treppenfkt. mit
[mm] \lim_{n\to\infty}\varphi_n\:\: =\:\: g\:\: [/mm] f.ü.
und aus der Monotonie von f folgt, dass f f.ü. stetig ist, so sollte doch auch
[mm] f\circ \varphi_n\:\:\longrightarrow\:\: f\circ g\:\: [/mm] f.ü. gelten, richtig. Und das wäre dann die Stelle, an der die
Monotonie zum tragen kommt.
Also meiner Ansicht nach funktioniert damit dann schon der erste Ansatz.
Zum zweiten Ansatz mit der alternativen Charakterisierung von Messbarkeit: Deine Frage ist ja jetzt nur noch, warum
die Definitionen von Messbarkeit äquivalent sind, d.h. warum für [mm] g\colon\IR\to\IR [/mm] gilt:
(1) es gibt Folge von Treppenfkt. [mm] \varphi_n [/mm] mit [mm] \varphi_n\longrightarrow g\:\: [/mm] f.ü.
genau dann wenn
(2) für jedes [mm] a\in\IR [/mm] ist [mm] \{x\in\IR\: |\: g(x)\geq a\} [/mm] meßbare Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Um nun [mm] (1)\Leftrightarrow [/mm] (2) zu zeigen, muss man natürlich die Definition messbarer Teilmengen von [mm] \IR [/mm] verwenden
(Lebesgue-Mass). Nun kann man sicher Messbarkeit ueber sehr einfache Treppenfunktionen definieren:
[mm] A\subseteq \IR [/mm] messbar
[mm] \Leftrightarrow \exists B_1\subseteq A\subseteq B_2, B_1, B_2 [/mm] Borel-Mengen mit [mm] \lambda(B_1)=\lambda(B_2).
[/mm]
Für Borel-Mengen [mm] B\subseteq \IR [/mm] gilt doch dann
[mm] \lambda (B)=\inf\{\lambda (Tr(\varphi))\:\: |\:\varphi\: Treppenfunktion\: mit\: Tr(\varphi)\supseteq A\}
[/mm]
mit [mm] Tr(\varphi)=\{x\in \IR|\varphi (x)\neq 0\}.
[/mm]
So bringt man da die Treppenfunktionen ins Spiel. Soviel vorerst, vielleicht hilft das ja schon weiter.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Mo 03.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo zusammen,
Mathias, Du schreibst:
>
zuerst mal zu Deinem ursprünglichen Ansatz: Wenn $ [mm] \varphi_n,n\in\IN [/mm] $ eine Folge von Treppenfkt. mit
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\varphi_n\:\: =\:\: g\:\: [/mm] $ f.ü.
und aus der Monotonie von f folgt, dass f f.ü. stetig ist, so sollte doch auch
$ [mm] f\circ \varphi_n\:\:\longrightarrow\:\: f\circ g\:\: [/mm] $ f.ü. gelten, richtig.
>
Wie gesagt, ich bezweifele das. Du meinst, es gilt:
[mm] $\forall [/mm] x : [mm] f(\varphi_n(x)) \longrightarrow [/mm] f(g(x))$
unter den genannten Voraussetzungen und modulo einer Nullmenge. Das heißt aber, dass $f$ in fast allen $g(x)$ stetig sein muss, nicht in fast allen $x$. Nimmt $g$ also nur zwei Werte an, bspw. $0$ und $1$ und ist f in diesen Werten nicht stetig, so gilt der obige grenzübergang sogar nirgendwo.... Oder mache ich jetzt einen denkfehler???
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 03.04.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Matthias,
Dein Zweifel scheint mir auch begründet. Das ist in der Tat ein Problem.
Zwar liesse sich das von Dir betrachtete Gegenbeispiel anders loesen, aber
wie weit der Einwand reicht, seh ich momentan nicht. es ist doch aber so, dass
der Weg ueber die Treppenfunktionen irgendwie gehen muss. Frage ist nur, ob es einfach geht
oder doch sehr kompliziert wird.
Ich denk nochmal drueber nach.
Viele Gruesse von Bonn nach Bonn !
(Wohin denn genau - Antwort via PN ?)
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 03.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab grad nicht so viel Zeit und hab mir deswegen die ganze Diskussion nicht genau durchgelesen. Ich wollt nur kurz ein paar Kommentare loswerden.
> Es sei I ein Intervall, es seien f: [mm]\IR \to \IR[/mm] und g: I
> [mm]\to \IR.[/mm] Zeigen Sie:
> a) Wenn f monoton und g messbar sind, so ist f [mm]\circ[/mm] g:I
> [mm]\to \IR[/mm] messbar.
> b) Wenn f stetig und g messbar sind, so ist f [mm]\circ[/mm] g:I
> [mm]\to \IR[/mm] messbar
Das folgt direkt aus folgenden Resultaten:
- Die Verkettung von messbaren Funktionen ist messbar.
- Stetige Funktionen sind messbar.
- Monotone Funktionen sind messbar.
Das erste hattet ihr sicher in der VL (wenn nicht: das ist wirklich nicht schwer), die anderen beiden musst du wahrscheinlich noch zeigen.
Dafuer verwendest du am besten folgendes:
Ist $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung sind $(X, [mm] \mathcal{A})$ [/mm] und $(Y, [mm] \mathcal{B})$ [/mm] messbare Raeume, und wird die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$ [/mm] durch die Teilmenge [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}$ [/mm] erzeugt, so ist $f$ genau dann messbar, wenn [mm] $f^{-1}(C) \in \mathcal{A}$ [/mm] ist fuer alle $C [mm] \in \mathcal{C}$.
[/mm]
So. Und dann musst du noch wissen: Die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] (die du ja bei [mm] $\IR$ [/mm] immer verwendest) wird
- einmal von den offenen Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] erzeugt,
- und weiterhin auch von den halboffenen Intervallen vom Typ [mm] $\left]-\infty, a\right]$, [/mm] $a [mm] \in \IR$,
[/mm]
- und schliesslich auch von den halboffenen Intervallen vom Typ [mm] $\left[a, \infty[\right[$, [/mm] $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
(Mit dem ersten kannst du die Messbarkeit von stetigen Funktionen anpacken -- schau dir nochmal die Definition von Stetigkeit an --, und mit den letzten beiden die Messbarkeit von monotonen Funktionen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Di 04.04.2006 | | Autor: | mathiash |
Moin zusammen,
Felix hat schon recht: wenn f und g messbar sind, so auch [mm] f\circ [/mm] g (alles geeignet, so dass wir verketten
können. Denn eine Charakterisierung von Messbarkeit von Fkt. ist, dass Urbilder messbarer Mengen messbar sind.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Di 04.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
habe es jetzt auch noch in mehreren anderen Quellen gefunden, dass es gilt. Hört sich ja auch plausibel an.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 04.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Felix,
bei Wolfram steht:
>
Measurable functions are closed under addition and multiplication, but not composition.
>
ich habe das so übersetzt, dass die Verknüpfung von meßbaren fkten. nicht unbedingt wieder meßbar sein muß. So wie Du es begründest, leuchtet es aber direkt ein. Ich ziehe meine Bedenken, wie schon gesagt, komplett zurück! 
Ich frage mich aber, was mit obiger Aussage gemeint ist...
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Di 04.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nur mal ein kleiner Einwurf:
>
> Felixf hat sich ja in seinem Lösungsansatz auf die
> Borel-[mm]\sigma[/mm]-Algebra bezogen. Bezüglich dieser glaube ich
> die Aussage über die Meßbarkeit von Kompositionen sofort.
Diese Aussage gilt auch fuer jede andere [mm] $\sigma$-Algebra: [/mm] Wenn $(X, [mm] \mathcal{A})$, [/mm] $(Y, [mm] \mathcal{B})$ [/mm] und $(Z, [mm] \mathcal{C})$ [/mm] Messraeume sind (also Mengen mit zugehoeriger [mm] $\sigma$-Algebra) [/mm] und wenn $f : X [mm] \to [/mm] Y$ [mm] $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-messbar [/mm] und $g : Y [mm] \to [/mm] Z$ [mm] $\mathcal{B}$-$\mathcal{C}$-messbar [/mm] ist, dann ist $g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Z$ [mm] $\mathcal{A}$-$\mathcal{C}$-messbar.
[/mm]
Ganz egal wie die Mengen und die [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] aussehen.
> Aber im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] betrachtet man doch normalerweise die
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra der Lebesgue-meßbaren Mengen. (Diese erhält
> man aus der obengenannten durch die "Hinzufügung" aller
> Lebesgue-Nullmengen.)
> Und damit wird doch dann die Charakterisierung von
> (Lebesgue-)meßbaren Funktionen durch die Urbilder vom Typ
> [mm][a,\infty)[/mm] problematisch...
Das stimmt. Jedoch: Wenn eine Funktion bezueglich der Borelschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] messbar ist (und das sind stetige und monotone Funktionen), so ist sie insbesondere bezueglich der Lebesgueschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] messbar.
> (Schließlich kann man ohne Auswahlaxiom doch keine
> nicht-meßbaren Mengen konstruieren...)
Mal allgemein: Soweit ich weiss ist das Auswahlaxiom doch nur eine (von moeglicherweise vielen, jedoch (noch) nicht bekannten) Methode, mit der man die Existenz von nicht-messbaren Mengen zeigen kann? (Wir reden von Borel-messbaren Mengen, oder?) Oder konnte jemand zeigen, dass die Gueltigkeit des Auswahlaxioms aequivalent zur Existenz nicht-messbarer Mengen ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo felixf!
> > Felixf hat sich ja in seinem Lösungsansatz auf die
> > Borel-[mm]\sigma[/mm]-Algebra bezogen. Bezüglich dieser glaube ich
> > die Aussage über die Meßbarkeit von Kompositionen sofort.
>
> Diese Aussage gilt auch fuer jede andere [mm]\sigma[/mm]-Algebra: [..]
Ja, stimmt natürlich. Ich meinte meine Aussage eher in Abgrenzung zu der Komposition von "meßbaren" Funktionen im Sinne von "f.ü. durch Treppenfunktionen approximierbar".
> Wenn eine Funktion bezueglich der
> Borelschen [mm]\sigma[/mm]-Algebra messbar ist (und das sind stetige
> und monotone Funktionen), so ist sie insbesondere
> bezueglich der Lebesgueschen [mm]\sigma[/mm]-Algebra messbar.
Wieso "insbesondere"? Man müßte doch noch zeigen, daß das Urbild einer Lebesgue-Nullmenge unter einer Borel-meßbaren Funktion wieder Lebesgue-meßbar ist, oder? (Ich schreibe gleich noch eine "offizielle" Frage in diesen Thread, wo Deine Antwort vielleicht besser hinpassen könnte.)
> Mal allgemein: Soweit ich weiss ist das Auswahlaxiom doch
> nur eine (von moeglicherweise vielen, jedoch (noch) nicht
> bekannten) Methode, mit der man die Existenz von
> nicht-messbaren Mengen zeigen kann? (Wir reden von
> Borel-messbaren Mengen, oder?)
Also, ich rede sicherheitshalber mal von Lebesgue-meßbaren Mengen.
![[]](/images/popup.gif) Laut Wikipedia ist die Menge der Borel-meßbaren Mengen gleichmächtig zu [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Ich vermute mal, daß der zugehörige Beweis noch ohne Auswahlaxiom auskommt. Wenn das stimmt, dann existieren nicht-Borel-meßbare Mengen natürlich bereits ohne Auswahlaxiom.
Für die Existenz nicht-Lebesgue-meßbarer Mengen benötigt man aber auf jeden Fall eine Erweiterung von ZF (wie z.B. ZF + Auswahlaxiom), da sich zeigen läßt: Ist ZF widerspruchsfrei, so ist auch ZF plus "alle Teilmengen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sind meßbar" widerspruchsfrei.
> Oder konnte jemand zeigen,
> dass die Gueltigkeit des Auswahlaxioms aequivalent zur
> Existenz nicht-messbarer Mengen ist?
Ich glaube mal irgendwo gehört zu haben, daß dies tatsächlich der Fall ist. Aber das ist jetzt natürlich keine zitierfähige Quelle...
Grüße,
Galois
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Hallo Galois,
> Bonner Matheforum (EDIT:
> Ups, wieso funktioniert der Link denn nicht? Na gut, dann
> eben noch mal explizit: www.bonner-matheforum.de)
Vor einiger Zeit war der Matheraum ja auch unter www.matheforum.de erreichbar.
Damit die internen links noch funktionieren werden links auf matheforum.de nun umgeleitet. Bsp.
http://www.zwickau-matheforum.de/read?i=140694
Du kannst aber ja leicht die andere Adresse deines Forums benutzen oder?
viele Grüße aus Dresden
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 04.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> bei Wolfram steht:
>
> >
> Measurable functions are closed under addition and
> multiplication, but not composition.
> >
>
> ich habe das so übersetzt, dass die Verknüpfung von
> meßbaren fkten. nicht unbedingt wieder meßbar sein muß. So
> wie Du es begründest, leuchtet es aber direkt ein. Ich
> ziehe meine Bedenken, wie schon gesagt, komplett zurück!
>
Tatsaechlich, das steht da ja wirklich. Hab ich total uebersehen. Nunja, das scheint jedoch eindeutig ein Fehler von Wolfram zu sein. Zumindest wenn man sich die Voraussetzungen dazudenkt, unter denen die Summe und das Produkt messbarer Funktionen messbar ist (reelle Zahlen mit Borelscher [mm] $\sigma$-Algebra). [/mm] Aber da dort keine Voraussetzungen stehen...
Wenn $f : X [mm] \to [/mm] Y$ und $g : Y [mm] \to [/mm] Z$ messbar sind, jedoch $Y$ fuer $f$ und $g$ mit verschiedenen [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] ausgestattet wird, so muss natuerlich die Komposition nicht messbar sein. Aber dann kann man auch passende [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] waehlen, so dass die Summe und das Produkt zweier messbarer Funktionen nicht messbar ist...
> Ich frage mich aber, was mit obiger Aussage gemeint ist...
Das weiss wahrscheinlich nur derjenige der sie verzapft hat...
LG Felix
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:00 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Galois |
| Aufgabe | | Welche Beziehung besteht zwischen Borel- und Lebesgue-meßbaren Funktionen? |
Hallo allerseits!
Da ich das Gefühl habe, daß hier im Thread aufgrund unterschiedlicher Definitionen von "Meßbarkeit" leicht aneinander vorbeigeredet wird, versuche ich im Folgenden, etwas Ordnung in die Begriffe zu bringen.
Zunächst ein paar Definitionen und mir bekannte Tatsachen, meine Fragen folgen dann weiter unten. 
Ich betrachten immer Funktionen [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
[/mm]
1.) Eine Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] heiße B-meßbar, wenn das Urbild jeder Borel-meßbaren Menge unter $f$ wieder eine Borel-meßbare Menge ist.
Eine äquivalente Definition ist, daß die Mengen der Form [mm]f^{-1}([a,\infty))[/mm] Borel-meßbar sind.
Auch läßt sich zeigen: f ist B-meßbar [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] f ist punktweiser Limes einer Folge von Borel-Treppenfunktionen.
(Eine Borel-Treppenfuktion ist eine Treppenfunktion, bei deren Konstruktion im Urbildbereich Borel-meßbare Mengen benutzt werden.) Tatsächlich sind B-meßbare Funktionen sogar durch Treppenfunktionen, die nur auf Intervallen aufbauen, approximierbar, da dies für Borel-Treppenfunktionen gilt.
2.) Eine Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] heiße BL-meßbar, wenn das Urbild jeder Borel-meßbaren Menge unter $f$ zumindest eine Lebesgue-meßbare Menge ist.
Eine äquivalente Definition ist, daß die Mengen der Form [mm]f^{-1}([a,\infty))[/mm] Lebesgue-meßbar sind.
Analog zu dem zuvor Gesagten läßt sich zeigen: f ist BL-meßbar [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] f ist punktweiser Limes einer Folge von Lebesgue-Treppenfunktionen.
(Eine Lebesgue-Treppenfuktion ist eine Treppenfunktion, bei deren Konstruktion im Urbildbereich Lebesgue-meßbare Mengen benutzt werden.) Tatsächlich reicht es für die BL-Meßbarkeit schon aus, daß f fast überall Limes einer Folge von Lebesgue-Treppenfuktionen ist. Wobei man dann natürlich Lebesgue- durch Borel-Treppenfuktionen erstzen kann - der Unterschied ist ja nur eine Nullmenge; ersetzt man die Borel-Treppenfunktionen nun wiederum durch Treppenfunktionen über Intervallen, so sieht man, daß "BL-Meßbarkeit" die gerade die Meßbarkeit "im üblichen Sinne" ist.
3.) Eine Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] heiße L-meßbar, wenn das Urbild jeder Lebesgue-meßbaren Menge unter $f$ wieder eine Lebesgue-meßbare Menge ist.
Was wissen wir nun über B-, BL- und L-meßbare Funktionen?
* Offensichtlich ist jede B-meßbare Funktion auch BL-meßbar. Und jede L-meßbare Funktion ebenfalls.
* Ferner sind - wie felixf bereits feststellte - stetige sowie monotone Funktionen B-meßbar (und damit auch BL-meßbar) und die Komposition zweier B- bzw. L-meßbarer Funktionen wieder B- bzw. L-meßbar.
Aber wie ist der Zusammenhang zwischen der B- und der L-Meßbarkeit von Funktionen?
Sind stetige/monotone Funktionen auch L-meßbar?
Und ist die Komposition zweier BL-meßbarer Funktionen wieder BL-meßbar? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Und: Wer kann mir eine Lebesgue-meßbare Teilmenge der reellen Zahlen, die nicht Borel-meßbar ist, nennen?
![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
Grüße,
Galois
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie ist der Zusammenhang zwischen der B- und der
> L-Meßbarkeit von Funktionen?
Es gibt B-meßb. funktionen, die nicht L-meßb sind - und da gibt es ganz einfache: [m]\IR\to\IR^2,x\mapsto(x,0)[/m]. Die Umkehrung scheint mir auch fraglich, aber ich sehe keinen Beweis.
> Sind stetige/monotone Funktionen auch L-meßbar?
I.a.a ja nicht (s.o.), aber monotone sollten es trotzdem tun.
> Und ist die Komposition zweier BL-meßbarer Funktionen
> wieder BL-meßbar?
Naja, eine Borel-Menge geht erstmal blos auf eine L-Menge, was mit der geschieht, ist ja nicht kontrolliert.
> Und: Wer kann mir eine Lebesgue-meßbare Teilmenge der
> reellen Zahlen, die nicht Borel-meßbar ist, nennen?
Konkret? Eher schwierig. Abstrakt? Kein Problem: die Cantor-Menge ist überabzählbar, also ist jede Teilmenge eine L-Nullmenge. Allerdings sind die Borel-Mengen lediglich überazählbar.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Sa 08.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Aber wie ist der Zusammenhang zwischen der B- und der
> > L-Meßbarkeit von Funktionen?
>
> Es gibt B-meßb. funktionen, die nicht L-meßb sind - und da
> gibt es ganz einfache: [m]\IR\to\IR^2,x\mapsto(x,0)[/m]. Die
> Umkehrung scheint mir auch fraglich, aber ich sehe keinen
> Beweis.
Sei $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine L-messbare Menge, die nicht B-messbar ist. Dann ist [mm] $1_A [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \not\in A \end{cases}$ [/mm] L-messbar, aber nicht B-messbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 08.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]A \subseteq \IR[/mm] eine L-messbare Menge, die nicht
> B-messbar ist. Dann ist [mm]1_A : \IR \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \not\in A \end{cases}[/mm]
> L-messbar, aber nicht B-messbar.
Argh, natürlich! Kopf auf den Tisch hau! wie einfach - aber manchmal sieht man nicht die Wand vorm Kopf.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo SEcki, hallo felixf!
Vielen Dank für Eure Antworten!
> die Cantor-Menge ist überabzählbar, also ist jede Teilmenge eine L-Nullmenge. Allerdings sind die Borel-Mengen lediglich überazählbar.
Naja, nicht ganz, ich habe aber verstanden, was Du meinst.
Inzwischen habe ich auch noch etwas über die Thematik nachgedacht und unter Verwendung der Cantormenge auch eine B-meßbare (und sogar monotone) Abbildung [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^\red{1}$ [/mm] gefunden, die nicht L-meßbar ist:
Für [mm] $x\in[0,1)$, $x=\sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{2^i}$ [/mm] mit [mm] $a_i\in\{0,1\}$ [/mm] und unendlich viele [mm] $a_i=0$, [/mm] sei [mm] $f(x):=\sum_{i=1}^\infty \frac{2a_i}{3^i}$; [/mm] für [mm] $x\in\mathbb{R}\backslash[0,1)$ [/mm] sei hingegen f(x):=x. Dann ist f monoton (also B-meßbar) und bildet das Intervall [0,1) bijektiv auf die Cantormenge ab.
Sei nun [mm] $T\subset [/mm] [0,1)$ eine nicht L-meßbare Menge. (Existenz nach Auswahlaxiom!) Dann ist f(T) als Teilmenge der Cantormenge ebenfalls eine Nullmenge, insbesondere also L-meßbar, während [mm] $f^{-1}(f(T))=T$ [/mm] nicht L-meßbar (und daher im übrigen f(T) nicht Borel-meßbar) ist.
Definieren wir ferner [mm] $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] wie bei felixf als [mm] $g:=1_{f(T)}$ [/mm] so zeigt das Beispiel [mm] $g\circ [/mm] f$, daß die Komposition zweier BL-meßbarer Funktionen im allgemeinen nicht wieder BL-meßbar ist.
Ich fasse zusammen: ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
- Es gibt L-meßbare Funktionen [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, [/mm] die nicht B-meßbar sind. Es gibt monotone (insbesondere B-meßbare) Funktionen [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, [/mm] die nicht L-meßbar sind.
- Die Menge der BL-stetigen Funktionen [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] ist unter Komposition nicht abgeschlossen.
- Insbesondere gibt es L-meßbare Teilmengen von [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] die nicht B-meßbar sind.
- Ob es stetige, nicht L-meßbare Funktionen [mm] $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] gibt, muß an dieser Stelle offen bleiben.
Abschließend erlaube ich mir, als Fazit unserer Diskussion festzuhalten:
- Unter der Annahme, daß mit "meßbar" die BL-Meßbarkeit gemeint war, kann bluehawks ursprüngliche Aufgabe gelöst werden, indem man zeigt, daß stetige/monotone Funktionen B-meßbar sind.
- Die Definition von "meßbar" bei Mathworld ist die der BL-Meßbarkeit.
- Eine Klärung der verwendeten Definitionen kann helfen, Irritationen zu beseitigen.
"Maßvolle" Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
(Schließlich kann man ohne Auswahlaxiom doch keine nicht-meßbaren Mengen konstruieren...)
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
