Methode der Verpflanzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Sei G = {z [mm] \in \IC: [/mm] Re(z) < 0} die linke offene Halbebene und [mm] \overline{G} [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] : Re(z) [mm] \le [/mm] 0}. Finden Sie eine stetige Funktion u: [mm] \overline{G} \to \IR, [/mm] die in G harmonisch ist, mit den Randwerten [mm] u(0,y)=(siny)^2. [/mm] Hinweis: Verwenden Sie die Methode der Verpflanzung mit der Funkton [mm] f(z)=e^z. [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Hab diese Methode der Verpflanzung nicht verstanden. Ich weiß zwar, dass es darum geht, komplizierte Gebiete auf einfachere zu transformieren, um so Probleme leichter lösen zu können, aber wie genau das praktisch funktioniert weiß ich leider überhaupt nicht :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei G = {z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Re(z) < 0} die linke offene Halbebene
> und [mm]\overline{G}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {z [mm]\in \IC[/mm] : Re(z) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}. Finden Sie
> eine stetige Funktion u: [mm]\overline{G} \to \IR,[/mm] die in G
> harmonisch ist, mit den Randwerten [mm]u(0,y)=(siny)^2.[/mm]
> Hinweis: Verwenden Sie die Methode der Verpflanzung mit der
> Funkton [mm]f(z)=e^z.[/mm]
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll.
> Hab diese Methode der Verpflanzung nicht verstanden. Ich
> weiß zwar, dass es darum geht, komplizierte Gebiete auf
> einfachere zu transformieren, um so Probleme leichter
> lösen zu können, aber wie genau das praktisch
> funktioniert weiß ich leider überhaupt nicht :(
Sei D:={z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<1} und [mm] f(z):=e^z.
[/mm]
Dann ist [mm] f_{|G} [/mm] eine konforme Abbildung von G auf D. Zeige das !
Weiter ist $f( [mm] \partial [/mm] G)= [mm] \partial [/mm] D$. Zeige auch das !
Nun löse das Problem in D bzw. in [mm] \overline{D} [/mm] und kehre nach G mittels [mm] f_{|G}^{-1} [/mm] zurück.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:45 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Ymaoh |
Erstmal Danke für die rasche Antwort.
Ich bin die ersten Schritte mal durchgegangen, gezeigt das [mm] e^z [/mm] konform ist.
(reell differenzierbar, cauchy dgl sind erfüllt und ableitung ist [mm] \not= [/mm] 0 für ganz G).
Der Rand von G ist gerade die Imaginäre Achse, die von f auf den Einheitskreis abgebildet wird, was ja auch der Rand von D ist, also auch das stimmt.
Aber wie meinst du das, dass ich das jetzt für [mm] \overline{G} [/mm] bzw [mm] \overline{D} [/mm] lösen soll? Bei G ändert sich ja nur, dass nun auch der Rand enthalten ist, richtig? Gilt das dann auch für D, dass also |z| [mm] \le [/mm] 1 ist? Und wie bringe ich den Randwert
u(0,y) = [mm] (siny)^2 [/mm] mit rein? Muss ich eine Funktion suchen, die die imaginäre Achse auf den Einheitskreis abbildet und wo der Realteil bei (0,y) gerade auf [mm] (siny)^2 [/mm] abgebildet wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 13.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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