Metrik-2 kurze Fragen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen! Hab mal ne Frage zu, wie ich zwei Aussagen begründen bzw. bearbeiten kann:Dabei werden Teilmengen im metrischen Raum [mm] (\IR [/mm] ,d) betrachtet, wobei d den euklidischen Abstand bezeichnet.
a) Warum ist [mm] \wurzel{2} [/mm] ein isolierter Punkt von E:= [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] = [mm] \{ x \in \IR : x irrational \}. [/mm] Kann ich das damit begründen, indem ich einfach die Definition eines isolierten Punktes hinschre ibe, also es existiert eine Kugel mit Radius größer 0, sodass gilt [mm] K_{r}(x) \cap [/mm] A = [mm] \{x\}?
[/mm]
b) Was ist der Rand von C:= [mm] \{1/n: n \in \IN \ \{0\} \}? [/mm] Ich weiß zwar, was die Definition von Rand ist, weiß aber nicht recht, wie ich das auf die spezielle Aufgabe anwenden muss.
liebe Grüße
|
|
| |
|
Hallo Franziska,
also beim ersten Teil betrachte doch mal folgendes:
es ist [mm] \sqrt{2} [/mm] irrational, aber es sind auch die Zahlen [mm] \sqrt{\bruch{2n+1}{n}\cdot 2}
[/mm]
irrational, und diese Folge konvergiert bzgl. der von [mm] \IR [/mm] auf E induzierten Metrik
gegem [mm] \sqrt{2}. [/mm] Widerspricht das denn nicht der Isoliertheit.
Zum zweiten Teil: Der Rand ist [mm] C\cup\{0\}, [/mm] denn [mm] x\in [/mm] Rand(C) gdw jede [mm] \epsilon-Umgebung
[/mm]
von x hat nichtleeren Schnitt mit C und mit [mm] \IR\setminus [/mm] C.
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 13.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo nochmal. Danke schon mal für deine Hilfe, ich glaube an diesem Beispiel hab ich jetzt die Sache mit der Isoliertheit verstanden, also ist [mm] \wurzel{2} [/mm] kein isolierter Punkt von E:= [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
Aber das mit dem Rand ist mir noch nicht ganz einleuchtend. Ich dachte, ich muss da irgendwelche ganz bestimmten Zahlen angeben, aber so wie du es sagst, ist praktische der Rand mit C [mm] \cup \{ 0 \} [/mm] schon richtig angegeben? Danke nochmal für deine Erklärung der Definition von "Rand", das ist mir jetzt schon eher klar als vorher.
liebe Grüße
|
|
|
| |
|
>
> Aber das mit dem Rand ist mir noch nicht ganz einleuchtend.
> Ich dachte, ich muss da irgendwelche ganz bestimmten Zahlen
> angeben,
Hallo,
das wäre bei Rändern mit unendlich vielen Elementen - wie hier - nicht sehr schön.
Du wärest bis zum Lebensende nur damit beschäftigt...
Natürlich gibt es Mengen, wo Du den Rand mit "bestimmten Zahlen" angeben kannst, z.B. ist der Rand von ]3,7] die Menge {3,7}.
aber so wie du es sagst, ist praktische der Rand
> mit C [mm]\cup \{ 0 \}[/mm] schon richtig angegeben?
Ja. Ich habe allerdings den Verdacht, daß Du für Deine Übung noch zeigen mußt, daß das wirklich der Rand ist, daß C [mm] \cup [/mm] {0} [mm] \subseteq [/mm] Rand und Rand [mm] \subseteq [/mm] C [mm] \cup [/mm] {0}.
Gruß v. Angela
Danke
> nochmal für deine Erklärung der Definition von "Rand", das
> ist mir jetzt schon eher klar als vorher.
>
> liebe Grüße
|
|
|
|
