Metrik-Norm-Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 14.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hi,
also ich bräuchte mal einen überblick über den zusammenhang zwischen topologie-norm-metrik...
also ich weiß das jede norm eine metrik ist.
mit [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel= [/mm] d(x,y)
aber nicht jede metrik ist eine norm.
aber in metrischen räumen "herrschen doch stengere Kriterien"; man benötig immer eine [mm] \varepsilon-umgebung [/mm] während in normierten eine "einfache" umgebung herrscht.
und nun zur topologie, wie hängt diese damit zusammen.
und was bedeutet der satz:
"eine topologie ist durch eine metrik induziert" , denn diesen satz habe ich öfters gelsen.
ich freue mich wenn mir einer weiterhelfen kann, durch den undurchdringbaren begriffsdschungel 
|
|
| |
|
Jeder metrische Raum ist auch ein topologischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie.
Was heißt das? Eine Topologie ist ein System offener Mengen. Mit Hilfe der Metrik kann ich offene Kugeln (Umgebungen) definieren und diese offenen Mengen erzeugen eine Topologie (das ist ein Satz), die man dann die induzierte Topologie nennt.
Es muss aber nicht notwendigerweise zu jeder Topologie eine Metrik geben, die diese induziert.
Zum Thema normierter / metrischer Raum:
Ein normierter Raum unterscheidet sich von einem rein metrischen dadurch, dass es sich um einen Vektorraum handeln muss: Du musst ein Nullelement haben und Addition sowie skalare Multiplikation müssen definiert sein. Das brauchst du bei einem rein metrischen Raum alles nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mi 14.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
wow danke, dass hört sich schonmal logisch an.
musss sich allerdings noch setzen, mal scauen ob mir dass morgen auch noch klar ist.
|
|
|
|
