Metrik < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Warum ist die auf [mm] \IR^{2}\times\IR^{2} [/mm] definierte Abbildung [mm] d_{2}: \IR^{2}\times\IR^{2} \to[0, \infty[, d_{2} ((x_{1},x_{2})(y_{1}y_{2})):= \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} [/mm] $ eigentlich eine Metrik auf [mm] \IR^{2}? [/mm] |
Sorry, hatte mich vorhin vertippt. So müsste, dass jetzt möglich sein.
Vielen Dank für Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 13.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du musst dir erst einmal bewusst machen, was man unter einer Metrik versteht.
Eine Metrik auf X (in deinem Falle [mm] \IR^2 [/mm] ) ist eine Abbildung
[mm] d:X\times{X}\to\IR, [/mm]
[mm] (x,y)\mapsto{d(x,y)} [/mm] (in deinem Fall [mm] x:=(x_1,x_2) [/mm] und [mm] y:=(y_1,y_2) [/mm] ) mit folgenden Eigenschaften:
i) [mm] d(x,y)=0\gdw{x=y}.
[/mm]
ii) Symmetrie: für alle [mm] x,y\in{X} [/mm] gilt: d(x,y)=d(y,x)
iii) Dreiecksungleichung: [mm] \forall x,y,z\in{X} [/mm] gilt: [mm] d(x,z)\le{d(x,y)}+d(y,z)
[/mm]
Hat [mm] d_{2}: \IR^{2}\times\IR^{2} \to[0, \infty[, d_{2} ((x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})):= \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} [/mm] die Eigenschaften i)-iii), dann handelt es sich bei [mm] d_2 [/mm] um eine Metrik auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Dass die Eigenschaften erfüllt sind, musst du allerdings noch zeigen.
MfG barsch
|
|
|
|
