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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass auf C(I) durch [mm] d(f,g):=\integral_{I}^{}|f-g|dx [/mm] eine Metrik definiert wird. Hierzu bestimme man eine Cauchy-Folge in dem metrischen Raum(C(I),d) die nicht in (C(I),d)) konvergiert. |
Hallo Zusammen,
ich hänge bei obiger Aufgabe. Muss ich hier jetzt folgendes zeigen?
i) d(f,g)=0
ii)d(f,g)=d(g,f)
iii) [mm] d(f,g)\le [/mm] d(f,z)+d(g,z)
?? Bitte um kurze Hilfe! Danke!
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Hallo Bodo,
> Man zeige, dass auf C(I) durch
> [mm]d(f,g):=\integral_{I}^{}|f-g|dx[/mm] eine Metrik definiert wird.
> Hierzu bestimme man eine Cauchy-Folge in dem metrischen
> Raum(C(I),d) die nicht in (C(I),d)) konvergiert.
> Hallo Zusammen,
>
> ich hänge bei obiger Aufgabe. Muss ich hier jetzt
> folgendes zeigen?
>
> i) d(f,g)=0
Hmm, wie habt ihr denn die Definitheit definiert?
Zeige entweder [mm]\left[d(f,g)=0 \ \gdw \ f=g\right][/mm] oder [mm]\left[d(f,f)=0 \ \text{und} \ d(f,g)=0\Rightarrow f=g\right] [/mm] [mm][/mm]
> ii)d(f,g)=d(g,f) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> iii) [mm]d(f,g)\le[/mm] d(f,z)+d(g,z)
Oder etwas "konsistenter" [mm]d(f,g)\le d(f,z)+d(z,g)[/mm]
>
> ?? Bitte um kurze Hilfe! Danke!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo, also ich habe:
i) d(f,g)=0 [mm] \gdw [/mm] f=g
Sei f=g
-> [mm] d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx=\integral_{I}^{}|0|dx=0
[/mm]
ii) d(f,g)=d(g,f)
-> [mm] d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx [/mm] = [mm] \integral_{I}^{}|g-f|dx [/mm] =d(g,f)
iii) [mm] d(f,g)\le [/mm] d(f,z)+d(z,g)
-> [mm] d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx \le \integral_{I}^{}|f-z+z-g|dx
[/mm]
[mm] =\integral_{I}^{}|f-z|dx+\integral_{I}^{}|z-g|dx [/mm] = d(f,z)+d(z,g)
So müsste es doch richtig sein?!
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Hallo nochmal,
> Hallo, also ich habe:
>
> i) d(f,g)=0 [mm]\gdw[/mm] f=g
>
> Sei f=g
>
> -> [mm]d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx=\integral_{I}^{}|0|dx=0[/mm]
Hier würde ich eine kurze Begrüngung geben.
Was heißt denn $f=g$? Sei ein bisschen ausführlicher!
Es fehlt die andere Richtung!
>
> ii) d(f,g)=d(g,f)
>
> -> [mm]d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx[/mm] = [mm]\integral_{I}^{}|g-f|dx[/mm]
> =d(g,f)
>
> iii) [mm]d(f,g)\le[/mm] d(f,z)+d(z,g)
>
> -> [mm]d(f,g)=\integral_{I}^{}|f-g|dx \le \integral_{I}^{}|f-z+z-g|dx[/mm]
Hier doch kein [mm]\le[/mm], da gilt doch Gleichheit
Von hier musst du noch begründet (!) schließen, dass Obiges [mm]\le\int\limits_{I}{(|f-z|+|z-g|) \ dx}[/mm] ist ...
>
> [mm]=\integral_{I}^{}|f-z|dx+\integral_{I}^{}|z-g|dx[/mm] =
> d(f,z)+d(z,g)
>
> So müsste es doch richtig sein?!
Sei nicht so sparsam mit Begründungen, wichtig ist, die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung zu begründen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
zu i)
d(f,g) ist ja nichts anderes als ein Abstand zwischen 2 Punkten. Oder Städten, wie man möchte. Ich will von Frankfurt nach Berlin...
So, wenn aber d(f,f)=d(g,g)=d(f=g) dann bewege ich mich ja von dem einen Punkt nicht mehr weg. Ich bleibe ja "dort". Daher ist der Abstand gerade 0.
zu iii) Integrale kann ich doch reinziehen, die sind doch .... (mir fällt das Wort nicht ein...) EDIT: LINEAR
Um schonmal den nächsten Punkt der Aufgabe vorzugreifen:
Eine Folge [mm] a_n \in [/mm] M ist genau dann eine Cauchy Folge bzgl der Metrik d , wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] m\in \IN [/mm] gibt, sodass [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] m gilt: [mm] d(a_k,a_m)<\varepsilon
[/mm]
grüße
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Hallo,
> zu i)
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> d(f,g) ist ja nichts anderes als ein Abstand zwischen 2
> Punkten. Oder Städten, wie man möchte. Ich will von
> Frankfurt nach Berlin...
>
> So, wenn aber d(f,f)=d(g,g)=d(f=g) dann bewege ich mich ja
> von dem einen Punkt nicht mehr weg. Ich bleibe ja "dort".
> Daher ist der Abstand gerade 0.
Du hast doch eine Äquivalenz zu zeigen. Du hast bisher noch nicht gezeigt, falls der Abstand Null ist, also d(f,g)=0, dass dann folgt, dass f=g.
>
> zu iii) Integrale kann ich doch reinziehen, die sind doch
> .... (mir fällt das Wort nicht ein...) EDIT: LINEAR
Zunächst nutzt du die Dreiecksungleichung für den Betrag aus, daher das kleiner gleich und erst dann die Linearität des Integrals.
>
>
> Um schonmal den nächsten Punkt der Aufgabe vorzugreifen:
>
> Eine Folge [mm]a_n \in[/mm] M ist genau dann eine Cauchy Folge bzgl
> der Metrik d , wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein [mm]m\in \IN[/mm]
> gibt,
sodass [mm] d(a_k,a_l)<\varepsilon [/mm] für alle [mm] k,l\ge [/mm] m
Gruß Patrick
> sodass [mm]\forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] m gilt: [mm]d(a_k,a_m)<\varepsilon[/mm]
> grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ich habe mir zu Punkt i) noch was anderes überlegt.
d(f,f)=0 und d(f,g)=0 -> f=g
z.z. [mm] d(x,y)\ge [/mm] 0
[mm] 0=d(f,f)=\integral_{I}^{}|f-f|dx \le \integral_{I}^{}|f-g|dx +\integral_{I}^{}|g-f|dx =\integral_{I}^{}2d(f,g)
[/mm]
Falls nun f=g gilt folgt [mm] \integral_{I}^{}2d(f,g)=0
[/mm]
Kann man eine solche Überlegung anstellen oder ist das völliger Blödsinn?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 17.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
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> also ich habe mir zu Punkt i) noch was anderes überlegt.
>
> d(f,f)=0 und d(f,g)=0 -> f=g
>
> z.z. [mm]d(x,y)\ge[/mm] 0
Was ist auf einmal y und y?
>
> [mm]0=d(f,f)=\integral_{I}^{}|f-f|dx \le \integral_{I}^{}|f-g|dx +\integral_{I}^{}|g-f|dx =\integral_{I}^{}2d(f,g)[/mm]
Was macht as Integral an Ende vor den 2g. Schreib das mal etwas ausfürhlicher auf, mit einigen Zwischenschritten und begründe diese vernünftig.
>
> Falls nun f=g gilt folgt [mm]\integral_{I}^{}2d(f,g)=0[/mm]
Das siehe ich aus der oberen Gleichung so nicht. Ausserdem: Was ist [mm] \red{\integral_{I}}\red{d}(f,g) [/mm] ? Das ist so nicht definiert.
Also: Wir wissen f=g
Also: [mm] d(f;f)=\integral_{I}|f-f|=\integral_{0}=...
[/mm]
Und andersherum:
Wir wissen: [mm] 0=\integral_{i}|f-g|, [/mm] was kann man dann über |f-g| sagen?
zu ii)
[mm] d(f,g)=\integral_{I}|f-g|=\integral_{I}|(-1)(-f+g)|=\integral_{I}|(-1)|*|g-f|=\ldots
[/mm]
zu iii)
[mm] \integral_{I}|f-g|=\integral_{I}|f-z+z-g|\le\integral_{I}(|f-z|+|z-g|)=\ldots
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 17.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo,
> >
> > also ich habe mir zu Punkt i) noch was anderes überlegt.
> >
> > d(f,f)=0 und d(f,g)=0 -> f=g
> >
> > z.z. [mm]d(x,y)\ge[/mm] 0
>
> Was ist auf einmal y und y?
natürlich muss es d(f,g) heißen
>
> >
> > [mm]0=d(f,f)=\integral_{I}^{}|f-f|dx \le \integral_{I}^{}|f-g|dx +\integral_{I}^{}|g-f|dx =\integral_{I}^{}2d(f,g)[/mm]
>
> Was macht as Integral an Ende vor den 2g. Schreib das mal
> etwas ausfürhlicher auf, mit einigen Zwischenschritten und
> begründe diese vernünftig.
>
> >
> > Falls nun f=g gilt folgt [mm]\integral_{I}^{}2d(f,g)=0[/mm]
>
> Das siehe ich aus der oberen Gleichung so nicht. Ausserdem:
> Was ist [mm]\red{\integral_{I}}\red{d}(f,g)[/mm] ? Das ist so nicht
> definiert.
>
> Also: Wir wissen f=g
>
> Also: [mm]d(f;f)=\integral_{I}|f-f|=\integral_{0}=...[/mm]
>
> Und andersherum:
> Wir wissen: [mm]0=\integral_{i}|f-g|,[/mm] was kann man dann über
> |f-g| sagen?
>
> zu ii)
>
> [mm]d(f,g)=\integral_{I}|f-g|=\integral_{I}|(-1)(-f+g)|=\integral_{I}|(-1)|*|g-f|=\ldots[/mm]
>
> zu iii)
>
> [mm]\integral_{I}|f-g|=\integral_{I}|f-z+z-g|\le\integral_{I}(|f-z|+|z-g|)=\ldots[/mm]
>
> Marius
>
Also:
nochmal zu i)
[mm] 0=d(f,f)=\integral_{i}|f-f|=\integral_{i}|0|=0
[/mm]
[mm] 0=d(g,g)=\integral_{i}|g-g|=\integral_{i}|0|=0
[/mm]
-> f=g
Vielleicht könnte man das ja auch so aufschreiben:
[mm] 0=d(f,f)=\integral_{i}|f-f|=\integral_{i}|g-g|=d(g,g)=0
[/mm]
aber es ist doch eigentlich logisch. f und g sind doch 2 Punkte. Falls f=g ist, dann ist der Abstand zwischen beiden Punkten doch gerade Null. Beispiel mit zwei Städten: Ich bin in Punkt A (Amsterdam) und will nach Punkt B (Berlin). Wenn ich jetzt mich nur im Punkt A befinde und verlasse diesen nicht, ist der Abstand 0. Selbiges für Punkt B.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 17.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
>
>
> Also:
>
> nochmal zu i)
>
> [mm]0=d(f,f)=\integral_{i}|f-f|=\integral_{i}|0|=0[/mm]
> [mm]0=d(g,g)=\integral_{i}|g-g|=\integral_{i}|0|=0[/mm]
Daraus kann ich aber nicht folgern, dass f=g.
>
> -> f=g
>
> Vielleicht könnte man das ja auch so aufschreiben:
>
> [mm]0=d(f,f)=\integral_{i}|f-f|=\integral_{i}|g-g|=d(g,g)=0[/mm]
Das ist sicherlich logisch, aber was kannst du daraus schliessen?
>
> aber es ist doch eigentlich logisch. f und g sind doch 2
> Punkte. Falls f=g ist, dann ist der Abstand zwischen beiden
> Punkten doch gerade Null.
Das stimmt
> Beispiel mit zwei Städten: Ich
> bin in Punkt A (Amsterdam) und will nach Punkt B (Berlin).
> Wenn ich jetzt mich nur im Punkt A befinde und verlasse
> diesen nicht, ist der Abstand 0. Selbiges für Punkt B.
Aber daraus kann ich doch nicht schliessen Berlin=Amsterdam.
Bleiben wir aber mal dabei. Ich bin in A-Stadt und lege keinen Weg zurück. Dann muss aber, falls ich dennoch danach in B-Stadt bin A-Stadt auch A-Stadt heissen.
>
> Grüße
Marius
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wenn ich jetzt Amsterdam=Berlin haben möchte, müsste es ja gerade der selbe Weg sein, den ich von Amsterdam nach Berlin und umgekehrt zurücklege.
f=g wenn, d(f,g)=d(g,f), aber das ist ja gerade der zweite Punkt ii).
d(f,g)=0 [mm] \gdw [/mm] f=g, ich komme nicht weiter...
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:48 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Kiola |
mich interessiert auch, wie man die positive Definitheit beweist. rho(f,g) = 0 [mm] \gdw [/mm] f=g ist mir klar. Aber das [mm] \ge [/mm] nicht. Macht man den Beweis vielleicht irgendwie über das Skalarprodukt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 24.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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