Metrik/Topologie < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 So 10.02.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Diskrete Metrik:
d(x,y)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x \not= y \end{cases}
[/mm]
Diskrete Topologie:
[mm] \tau= 2^x [/mm] Potenzmenge von x
Nun hab ich mich gefragt ob die diskrete Metrik die diskrete Topologie induziert.
Da wir gelernt haben dass eine Metrik immer eine Topologie induziert in den man als Basis die offenen [mm] $\epsilon$-Bälle [/mm] festsetzt. |
Dass meine Behauptung stimmt denke ich schon;)
Aber wie man das beweist , weiß ich nicht, würd ich aber gerne mit eurer Hilfe in Erfahrung bringen.
LG
|
|
| |
|
Hallo,
> Diskrete Metrik:
> d(x,y)= [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\
1, & \mbox{für } x \not= y \end{cases}[/mm]
>
> Diskrete Topologie:
> [mm]\tau= 2^x[/mm] Potenzmenge von x
> Nun hab ich mich gefragt ob die diskrete Metrik die
> diskrete Topologie induziert.
> Da wir gelernt haben dass eine Metrik immer eine Topologie
> induziert in den man als Basis die offenen [mm]\epsilon[/mm]-Bälle
> festsetzt.
> Dass meine Behauptung stimmt denke ich schon;)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie man das beweist , weiß ich nicht, würd ich aber
> gerne mit eurer Hilfe in Erfahrung bringen.
Dann wäre der erste Schritt, dass du dir anschaust, wie die [mm] $\varepsilon$-Bälle [/mm] aussehen. Was ist denn z.B. für $1 [mm] \ge \varepsilon [/mm] > 0$:
[mm] $B_{\varepsilon}(x) [/mm] = [mm] \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}$
[/mm]
Und was ist für [mm] $\varepsilon [/mm] > 1$:
[mm] $B_{\varepsilon}(x) [/mm] = [mm] \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}$
[/mm]
?
Wie entsteht jetzt die Topologie aus der Basis, die aus allen Bällen besteht?
"Eine Menge ist offen in $Y$ genau dann, wenn sie sich als Vereinigung von Elementen der Basis darstellen lässt."
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 19.02.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Danke für die Antwort.
Frage:Wieso wird [mm] B_\epsilon(x) [/mm] in X und nicht in P(X) betrachtet?
> Dann wäre der erste Schritt, dass du dir anschaust, wie
> die [mm]\varepsilon[/mm]-Bälle aussehen. Was ist denn z.B. für [mm]1 \ge \varepsilon > 0[/mm]:
>
> [mm]B_{\varepsilon}(x) = \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}[/mm]
d(x,y) < 1
dies gilt nur für x=y
Also ist [mm] B_{\varepsilon}(x) [/mm] = [mm] \{x\}
[/mm]
> Und was ist für [mm]\varepsilon > 1[/mm]:
>
> [mm]B_{\varepsilon}(x) = \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}[/mm]
>
Dann kann eben x=y oder x [mm] \not= [/mm] y gelten
?
> Wie entsteht jetzt die Topologie aus der Basis, die aus
> allen Bällen besteht?
Ich weiß schon, dass die Metrik eine Topologie induziert, ich musst zeigen, dass diese Topologie diskret ist.
Sei [mm] \tau [/mm] die Topologie
ZZ.: [mm] \tau [/mm] = P(X)
Nach obiger überlegung gilt sicher: [mm] \{\{x\} | x \in X \} \subseteq \tau.
[/mm]
[mm] \tau [/mm] ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen [mm] =>\bigcup_{x\in I} \{x\} \in \tau, [/mm] (I .. Index)
=> [mm] \tau [/mm] = [mm] 2^X [/mm] sein
Liebe grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> Danke für die Antwort.
> Frage:Wieso wird [mm]B_\epsilon(x)[/mm] in X und nicht in P(X)
> betrachtet?
Weil hier $(X,d)$ der metrische Raum ist, und es um die Kugel im metrischen Raum geht.
P(X) hat doch zunächst gar keine Topologie.
> > Dann wäre der erste Schritt, dass du dir anschaust, wie
> > die [mm]\varepsilon[/mm]-Bälle aussehen. Was ist denn z.B. für [mm]1 \ge \varepsilon > 0[/mm]:
>
> >
> > [mm]B_{\varepsilon}(x) = \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}[/mm]
>
> d(x,y) < 1
> dies gilt nur für x=y
> Also ist [mm]B_{\varepsilon}(x)[/mm] = [mm]\{x\}[/mm]
> > Und was ist für [mm]\varepsilon > 1[/mm]:
> >
> > [mm]B_{\varepsilon}(x) = \{y \in X: d(x,y) < \varepsilon\}[/mm]
> >
>
> Dann kann eben x=y oder x [mm]\not=[/mm] y gelten
> ?
Genau, also [mm] $B_{\varepsilon}(x) [/mm] = X$.
> > Wie entsteht jetzt die Topologie aus der Basis, die aus
> > allen Bällen besteht?
> Ich weiß schon, dass die Metrik eine Topologie induziert,
> ich musst zeigen, dass diese Topologie diskret ist.
> Sei [mm]\tau[/mm] die Topologie
> ZZ.: [mm]\tau[/mm] = P(X)
> Nach obiger überlegung gilt sicher: [mm]\{\{x\} | x \in X \} \subseteq \tau.[/mm]
> [mm]\tau[/mm] ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen
> [mm]=>\bigcup_{x\in I} \{x\} \in \tau,[/mm] (I .. Index)
> => [mm]\tau[/mm] = [mm]2^X[/mm] sein
Alles richtig
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
