Metrik auf Menge der Geraden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | E sei eine euklidische Ebene und X die Menge aller Geraden in E und d eine bewegungsinvariante Metrik auf X. Zeigen Sie, dass es ein c>0 gibt, sodass [mm] d(g,h)\ge [/mm] c [mm] \für [/mm] alle nicht parallelen Geraden g ung h. |
Hallo!
Was jetzt erstmal genau eine euklische Ebene ist, weiß ich nicht. So wirklich hab ich auch noch keine Definition dazu gefunden. Kann man sich da einfach den [mm] \IR^{2} [/mm] vorstellen? Oder ist das einfach eine Punktmenge zusammen mit einer Menge von Teilmengen, genannt Geraden, die parallel heißen, wenn sie gleich sind oder disjunkt sind und die sich sonst in nur einem Punkt schneiden und sodass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, auf der sie liegen. Aber wenn man das nur so axiomatisch hat, weiß ich nicht, wie ich mir da eine Bewegung vorstellen soll....
Jedenfalls erstmal weiter im Text: d(g,h) ist für nicht parallele Geraden insbesondere nicht 0, c kann also als Minimum angenommen werden.
Idee dazu: Ich statte die Menge G aller Paare nicht paralleler Geraden mit einer Metrik aus: $ D((g,h),(g',h')):=d(g,g')+d(h,h') $ (wenn ich mich nicht vertan hab, ist das sogar eine). Nehme dann als d: G [mm] \to \IR [/mm] die Abbildung, die einem Paar nicht paralleler Geraden den Abstand d(g,h) zuordnet und behaupte, dass diese stetig ist und (G, D) kompakt. Dann würde doch aus dem Satz vom Minimum und Maximum die Aussage folgen.
Das Problem ist, dass ich Stetigkeit und Kompaktheit irgendwie nicht gezeigt kriege...
d(g,g')+d(h,h')< [mm] \delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | d(g,h) - d(g',h') | < [mm] \varepsilon [/mm] ???
Und wenn ich ne offene ÜD hab, weiß ich nicht, wie ich da ne endliche TÜD finden sollte.
Irgendwie kommt es mir ja so vor, als ob das eine Sackgasse wäre. Hab aber keine Idee, wie es sonst gehen sollte. Wo kann denn hier überhaupt die Bewegungsinvarianz eingehen?
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Hiho,
gleich vorweg: Die Antwort wird ein bisschen eklig, darum stell ich die Frage nur auf halbbeantwortet:
Ich würde behaupten, die Aussage ist falsch mit folgendem Gegenbeispiel:
$E = [mm] \IR^2$
[/mm]
Es sollte folgendes eine Metrik auf dem von dir beschriebenen Raum sein:
[mm] $d(g_1,g_2) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{\pi}\arctan\left(\inf(|x-y|: x\in g_1, y\in g_2)\right), & \mbox{ für } g_1,g_2 \mbox{ parallel} \\ 1, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Salamence |
> Hiho,
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> gleich vorweg: Die Antwort wird ein bisschen eklig, darum
> stell ich die Frage nur auf halbbeantwortet:
>
> Ich würde behaupten, die Aussage ist falsch mit folgendem
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]E = \IR^2[/mm]
>
> Es sollte folgendes eine Metrik auf dem von dir
> beschriebenen Raum sein:
>
> [mm]d(g_1,g_2) = \begin{cases} \bruch{1}{\pi}\arctan\left(\inf(|x-y|: x\in g_1, y\in g_2)\right), & \mbox{ für } g_1,g_2 \mbox{ parallel} \\ 1, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Hallo!
Aber das ist doch kein Gegenbeispiel, dann ist doch gerade [mm] d(g,h)\ge [/mm] 1 für alle nicht parallelen Geraden...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Aber das ist doch kein Gegenbeispiel, dann ist doch gerade
> [mm]d(g,h)\ge[/mm] 1 für alle nicht parallelen Geraden...
ah mist, da ist in meinen Überlegungen doch glatt das "nicht" abhanden gekommen...... ich denk mal weiter.
Aber wie du an dem Beispiel schon siehst: Ja, du kannst jede euklidische Ebene letztlich wie den [mm] \IR^2 [/mm] auffassen.
LG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 17.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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