Metrik, glm. Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Seien $X,Y, Z$ metrische Räume mit Metriken [mm] $d_X, d_Y, d_Z$, [/mm] sei $Y$ kompakt. Ferner seien [mm] $f_n: X\to [/mm] Y$ eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge und [mm] $g:Y\to [/mm] Z$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionenfolge [mm] $g\circ f_n: X\to [/mm] Z$ konvergiert gleichmäßig. |
Hi,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe ein kleines Problem.
Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss ich ja zeigen, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] existiert mit [mm] $d(f_n(x),f(x))<\epsilon$ [/mm] für [mm] $x\in [/mm] X$.
Im Bezug auf diese Aufgabe tue ich mir gerade ein wenig mit der Verkettung schwer.
[mm] $g\circ f_n: X\to [/mm] Z$
"Formal" bleibt es doch erstmal dabei, dass ich
[mm] $d(f_n(x),f(x))$ [/mm] untersuche, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Seien [mm]X,Y, Z[/mm] metrische Räume mit Metriken [mm]d_X, d_Y, d_Z[/mm],
> sei [mm]Y[/mm] kompakt. Ferner seien [mm]f_n: X\to Y[/mm] eine gleichmäßig
> konvergente Funktionenfolge und [mm]g:Y\to Z[/mm] eine stetige
> Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionenfolge [mm]g\circ f_n: X\to Z[/mm]
> konvergiert gleichmäßig.
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe
> ein kleines Problem.
>
> Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss ich ja
> zeigen, dass für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm]
> existiert mit [mm]d(f_n(x),f(x))<\epsilon[/mm] für [mm]x\in X[/mm].
>
> Im Bezug auf diese Aufgabe tue ich mir gerade ein wenig mit
> der Verkettung schwer.
>
> [mm]g\circ f_n: X\to Z[/mm]
>
> "Formal" bleibt es doch erstmal dabei, dass ich
>
> [mm]d(f_n(x),f(x))[/mm] untersuche, oder?
"Diese" Frage verstehe ich nicht. Gegen welche Funktion wird die Folge [mm] $(g\circ f_n)$ [/mm] denn vermutlich konvergieren? Gehe mit dieser Grenzfunktion die Definition der gleichmaessigen Konvergenz durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja wahrscheinlich gegen $g: [mm] Y\to [/mm] Z$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Wieso sollte [mm] $g\circ f_{n}$ [/mm] gegen $g$ konvergieren!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Weil [mm] $f_n$ [/mm] gegen $Y$ konvergiert. Scheint aber falsch zu sein, dass [mm] $g\circ f_n$ [/mm] dann gegen $g$ konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Du weisst aber schon, dass [mm] $f_{n}$ [/mm] eine Funktion ist und $Y$ ein metrischer Raum? Da ergibt [mm] $\lim f_{n}= [/mm] Y$ wohl kaum Sinn.
Nach Voraussetzung ist [mm] $(f_{n})$ [/mm] (gleichmaessig) konvergent, sagen wir [mm] $\lim f_{n}= [/mm] f$. Was koennte nun [mm] $\lim g\circ f_{n}$ [/mm] sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann einfach [mm] $g\circ [/mm] f$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Ja. Weise nun nach, dass [mm] $(g\circ f_{n})$ [/mm] gleichmaessig konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Womit ich wieder bei meinem anfänglichem Problem wäre. :)
Muss ich [mm] $d(f_n(x),f(x))<\epsilon$ [/mm] betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Naja, wenigstens hast Du jetzt einen Ansatz. Wenn Du von der Folge [mm] $g\circ f_{n}$ [/mm] gleichmaessige Konvergenz nachweisen moechtest, ist es vermutlich eine gute Idee auch diese Folge zu betrachten.
Also was musst Du laut Definition fuer diese Folge zeigen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich muss für die gleichmäßige Konvergenz zeigen, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in \mathbb{N}$ [/mm] existiert so, dass für alle [mm] x\in [/mm] X gilt
[mm] $d(f_n(x),f(x))$
[/mm]
Bezogen auf [mm] $f_n:(X, d_1)\to [/mm] (Y, [mm] d_2)$ [/mm] (um "unsere" Definition zu zitieren)
Wie gesagt, ich bin mir eigentlich nur nicht so sicher was für einen "Abstand" ich nun bei meiner verketteten Funktion betrachten soll. Ansonsten wüsste ich glaube ich wie ich hier die gleichmäßige Konvergenz zeigen kann. Die Dreiecksungleichung sollte Abhilfe schaffen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mo 12.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Frage ist zwar abgelaufen, aber über weitere Anmerkungen würde ich mich sehr freuen. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Die Voraussetzung, dass Y kompakt ist, hast Du bislang ignoriert ! Ohne diese Vor. wirds nix !
Es ist Y kompakt und g:Y [mm] \to [/mm] Z stetig. Dann ist g sogar was ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:26 Di 13.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann ist g gleichmäßig stetig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann ist g gleichmäßig stetig.
Bingo !
Ich möchte Dir (anhand Deiner Aufgabe) mal zeigen , wie man Mathematik strategisch-psychologisch-geschickt "macht".
Dazu setze ich zur Abkürzung [mm] $h_n:=g \circ f_n$. [/mm] Zu zeigen ist also die gleichmäßige Konvergenz der Folge [mm] (h_n).
[/mm]
Die erste Frage ist: konvergiert [mm] (h_n) [/mm] auf X punktweise und wogegen ?
Dazu nehmen wir uns ein x [mm] \in [/mm] X her und betrachten [mm] (h_n(x)):
[/mm]
(*) [mm] h_n(x)=g(f_n(x)).
[/mm]
Da [mm] (f_n) [/mm] auf X glm. konvergiert, konv. [mm] (f_n) [/mm] auf X auch punktweise. Somit sind wir geneigt, zu definieren:
[mm] f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x).
[/mm]
Wir bekommen also eine Funktion f:X [mm] \to [/mm] Y.
Warum folgt nun aus (*): [mm] h_n(x) \to [/mm] g(f(x)) (n [mm] \to \infty) [/mm] ?
Wir haben also: [mm] (h_n) [/mm] konvergiert auf X punktweise gegen $h:=g [mm] \circ [/mm] f$.
Nun überlegen wir uns, wo wir hinwollen. Dahin:
Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so müssen wir zeigen: es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
(1) [mm] d_Z(h_n(x),h(x)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.
Schreiben wir (1) deutlicher auf:
(1') [mm] d_Z(g(f_n(x)),g(f(x))) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.
Wie kommen wir dahin ? Wir bräuchten so etwas wie
[mm] d_Z(g(u),g(v)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für ....
Nun schauen wir in die Voraussetzungen, um zu eruieren, ob wir etwas von den Vor. noch nicht benutzt haben. Wenn wir fündig werden, so hauen wir das schnellstens in die Pfanne !
Werden wir fündig ? Aber hallo, klar doch ! Benutzt haben wir noch nicht die glm. Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f und die Kompaktheit von Y.
Jetzt fällt uns ein (oder sollte uns einfallen):
stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind dort glm. stetig.
Also hoffen wir, dass uns die glm. Stetigkeit von g weiterbringt. Versuchen wirs (mit einem Blick auf (1')):
Zu obigem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
(2) [mm] d_Z(g(u),g(v)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle u,v [mm] \in [/mm] Y mit [mm] d_Y(u,v) [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
Schauen wir auf (1'). Wir hätten
(1') [mm] d_Z(g(f_n(x)),g(f(x))) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X,
wenn
[mm] d_Y(f_n(x),f(x))< \delta [/mm] ausfällt für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.
Nochmal: die glm. Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f haben wir noch nicht benutzt !
Wenn wir das benutzen, so finden wir ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] d_Y(f_n(x),f(x)) \delta [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.
Zusammen mit (2) folgt dann (1') und damit (1).
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Di 13.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung und Anleitung. Ich hoffe, dass ich diese Vorgehensweise zukünftig selber anwenden kann.
Gerade du hast mir seit meiner Ankunft immer wieder geholfen. Dafür danke ich dir sehr, dass du meine teils dummen fragen immer wieder gerne beantwortest.
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