Metrik induziert keine Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 19.10.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo erstmal!
Es geht um die Metrik der französischen Eisenbahn (oder auch SNCF-Metrik genannt). Diese ist bei mir folgendermaßen definiert:
Man wähle im [mm] \IR^{2} [/mm] einen festen Punkt [mm] x_{0} [/mm] (=Paris) und setze:
[mm] d(x,y)=\begin{cases} d_{2}(x,y) & \mbox{, falls } x,y \mbox{ auf einer Geraden durch } x_{0} \\ d_{2}(x,x_{0})+d_{2}(x_{0},y) & \mbox{, sonst } \end{cases} [/mm]
[mm] d_{2}(*,*) [/mm] bezeichne die Euklidische Metrik.
Nun zu meinem Problem: Ich kann die metrischen Axiome verfizieren, aber soll auch zeigen, dass diese Metrik keine Norm induziert!
Ich weiß, dass auf einem normierten Raum [mm] (\Omega, \|*\|) [/mm] eine Metrik induziert wird duch: [mm] d(x,y)=\|x-y\| \quad \forall x,y \in \Omega [/mm]. Aber das bringt mich in diesem Fall ja nicht weiter.
Ich denke mal man muss zeigen, dass die induzierte Norm (aber welche?) die Normeigenschaften nicht erfüllt und das wird wahrscheinlich bei der Homogenität der Fall sein.
Habt ihr da vielleicht eine Idee für mich? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus
GetBack
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Tipp: Eine Metrik, die von einer Norm kommt, ist translationsinvariant, d.h. es gilt immer:
$d(x+u,y+u)=d(x,y)$.
(Warum? Mache dir das bitte klar!)
Wähle nun $x$ und $y$ so, dass beide auf einer Geraden durch [mm] $x_0$ [/mm] liegen, und dann $u$ so, dass $x+u$ und $y+u$ dies nicht tun.
Für ein Gegenbeispiel mit Zahlen kannst du ja mal oBdA [mm] $x_0= [/mm] (0,0)$ annehmen...
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Getback,
ich finde, die Aufgabe ist so etwas unklar gestellt.
>
> [mm]d_{2}(*,*)[/mm] bezeichne die Euklidische Metrik.
> Nun zu meinem Problem: Ich kann die metrischen Axiome
> verfizieren, aber soll auch zeigen, dass diese Metrik keine
> Norm induziert!
Heißt das vielleicht eher, dass die Metrik nicht von einer Norm herstammt? In diesem Fall hat Julius die Frage beantwortet.
Andernfalls frage ich mich, wie eine Metrik eine Norm induzieren kann. Eine 'kanonische' Methode gibt es da wohl nicht. In deinem fall könnte man vielleicht eine 'Norm' als Distanz von Paris definieren (frage mich jetzt nicht nach dem sinn...), was zumindest für [mm] $x_0=0$ [/mm] sogar tatsächlich eine norm wäre. ich denke aber nicht, dass die aufgabe so gemeint ist.
Viele Grüße
Matthias
> Ich weiß, dass auf einem normierten Raum [mm](\Omega, \|*\|)[/mm]
> eine Metrik induziert wird duch: [mm]d(x,y)=\|x-y\| \quad \forall x,y \in \Omega [/mm].
> Aber das bringt mich in diesem Fall ja nicht weiter.
> Ich denke mal man muss zeigen, dass die induzierte Norm
> (aber welche?) die Normeigenschaften nicht erfüllt und das
> wird wahrscheinlich bei der Homogenität der Fall sein.
> Habt ihr da vielleicht eine Idee für mich? Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank im Voraus
> GetBack
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Ich vermute auch, daß entweder GetBack oder der Aufgabensteller etwas oberflächlich formuliert hat. Es soll wohl nicht
Induziert diese Metrik eine Norm?
sondern
Wird diese Metrik von einer Norm induziert?
heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 19.10.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo,
erstmal danke für Eure schnellen Antworten. Und zu meiner Verteidigung möchte ich noch sagen, dass ich es wirklich haargenau vom Zettel abgetippt habe. Ich habe der Professorin eine Mail zu diesem Thema geschickt und das war ihre Antwort: "Sie sollten einfach zeigen, dass
[mm] d(x,0) [/mm] keine Norm ist, d.h. eines der Normaxiome verletzt ist." Zitatende.
Aber das begreife ich irgendwie nun auch nicht, auch wenn diese Überlegung zur Fragestellung passt.
Habt Ihr da noch eine Idee für mich?
Danke, Danke
GetBack
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Hallo Getback,
> Hallo,
"Sie sollten einfach zeigen, dass
> [mm]d(x,0)[/mm] keine Norm ist, d.h. eines der Normaxiome verletzt
> ist." Zitatende.
ich denke, mir leuchtet die Aufgabe jetzt ein. Allerdings ist dann meiner meinung nach noch eine fallunterscheidung nötig... 
Im ersten Fall liegt , bildlich gesprochen, paris im nullpunkt, dh. [mm] $x_0=0$. [/mm] Dann wäre die durch $d(.,0)$ definierte abbildung tatsächlich eine norm, nämlich einfach die euklidische.
Ist allerdings [mm] $x_0 \ne [/mm] 0$, dann kann durch $d(.,0)$ natürlich keine norm definiert sein. Denn dann wird der Abstand vom Nullpunkt über den 'Umweg' Paris gemessen. Wenn du dir das einmal aufzeichnest, wirst du sehr schnell ein gegenbeispiel bezüglich zb. der homogenität erhalten.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Do 20.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sorry, ich habe mich hier total verrannt. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ich (oder ein anderer) versuche es später noch einmal...
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 20.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sei also [mm] $x_0 \ne [/mm] 0$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] so gewählt, dass sowohl [mm] $2x_0+ 2\varepsilon$ [/mm] als auch [mm] $x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon$ [/mm] nicht auf der Verbindungsstrecke von $0$ und [mm] $x_0$ [/mm] liegen. Dann gilt:
[mm] $\Vert 2(x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon) \Vert_d$
[/mm]
[mm] $d(2(x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon),0)$
[/mm]
$= [mm] d_2(2x_0+2\varepsilon,x_0) [/mm] + [mm] d_2(x_0,0)$
[/mm]
$= [mm] d_2(x_0+2 \varepsilon,0) [/mm] + [mm] d_2(x_0,0)$
[/mm]
(da [mm] $d_2$ [/mm] translationsinvariant ist)
$= [mm] \Vert x_0 [/mm] + [mm] 2\varepsilon \Vert_2 [/mm] + [mm] \Vert x_0 \Vert_2$
[/mm]
(wobei [mm] $\Vert \cdot \Vert_2$ [/mm] die von [mm] $d_2$ [/mm] induzierte Norm ist)
$ < 2 [mm] \Vert \varepsilon \Vert_2 [/mm] + 2 [mm] \Vert x_0 \Vert_2$
[/mm]
(in der Dreiecksungleichung [mm] $2\Vert \varepsilon \Vert_2 [/mm] + [mm] \Vert x_0 \Vert_2 \ge \Vert x_0 [/mm] + 2 [mm] \varepsilon \Vert_2$ [/mm] kann wegen linearer Unabhängigkeit keine Gleichheit auftreten)
$= [mm] 2d_2(\varepsilon,0) [/mm] + [mm] 2d_2(x_0,0)$
[/mm]
$= [mm] 2d_2(x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] x_0) [/mm] + [mm] 2d_2(x_0,0)$
[/mm]
(da [mm] $d_2$ [/mm] translationsinvariant ist)
$=2 [mm] d(x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon,0)$
[/mm]
$= 2 [mm] \cdot \Vert x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon\Vert_d$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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