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| Aufgabe | Wie lautet der Abschluss der Menge:
[mm] $M=\{(x,y)\in\IR^2| (\bruch{1}{2} < \wurzel{x^2+y^2} \le 1) \mbox{ und } ((-2 < y < 2) \mbox{ oder } (x=0))\}$. [/mm] |
Da wir den Mengenabschluss in der Vorlesung noch nicht hatten, aber jetzt lösen sollen, stehe ich etwas ratlos da. Bildlich als Graph gesehen handelt es sich ja um einen Ring um den Nullpunkt, der von 1/2 bis einschlielich 1 geht.
Und die zweite Sache ist die Menge direkt die y-Achse, die sich an +2 und -2 annähert, sie aber jedoch nicht erreicht.
Bloß wie löse ich das rechnerrisch???
Schon mal herzlichen Dank im Voraus!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo InfoErsti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie lautet der Abschluss der Menge:
>
> [mm]M=\{(x,y)\in\IR^2| (\bruch{1}{2} < \wurzel{x^2+y^2} \le 1) \mbox{ und } ((-2 < y < 2) \mbox{ oder } (x=0))\}[/mm].
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> Da wir den Mengenabschluss in der Vorlesung noch nicht
> hatten, aber jetzt lösen sollen, stehe ich etwas ratlos da.
> Bildlich als Graph gesehen handelt es sich ja um einen Ring
> um den Nullpunkt, der von 1/2 bis einschlielich 1 geht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und die zweite Sache ist die Menge direkt die y-Achse, die
> sich an +2 und -2 annähert, sie aber jedoch nicht
> erreicht.
>
> Bloß wie löse ich das rechnerrisch???
Hier wäre noch interessant, wie Ihr den Abschluss einer Menge definiert habt. Ich nehme mal als Definition
[mm] $\overline M=\{x\ |\ x \mbox{ Berührpunkt von M}\}$
[/mm]
Die Beschreibung Deines M lässt sich vereinfachen zu
[mm]M=\{(x,y)\in\IR^2| (\bruch{1}{2} < \wurzel{x^2+y^2} \le 1)\}[/mm]
da [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \wurzel{x^2+y^2} \le [/mm] 1\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] -2 < y < 2$
Es handelt sich also tatsächlich nur um einen Kreisring, dessen äußerer Rand zu M gehört, der innere Rand aber nicht.
Viel zu rechnen gibt es hier nicht (es sei denn, man möchte es superformal mit Koordinaten nachrechnen, ich gebe unten einen Ansatz dazu).
Zunächst einmal gehört jeder Punkt der Menge $M$ zu [mm] $\overline{M}$: $M\subset\overline{M}$.
[/mm]
Fall 1: [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\wurzel{x^2+y^2}=d$ [/mm] und $d>1$ (also ausserhalb des äusseren Kreisrings).
Dann liegt in der [mm] "$\bruch{d-1}{2}$"-Umgebung [/mm] von $(x,y)$ kein weiterer Punkt von $M$: [mm] $U_{\bruch{d-1}{2}}((x,y))\cap M=\emptyset$.
[/mm]
(denn alle Punkte in dieser Umgebung haben einen Abstand > 1 vom Ursprung, das sollte man ggfs. tiefer ausführen)
Also ist $(x,y)$ kein Berührpunkt von $M$ und gehört nicht zum Abschluss.
Fall 2: [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\wurzel{x^2+y^2}=\bruch{1}{2}$ [/mm] (also auf der inneren Kreislinie).
Die Vermutung ist, dass es sich um einen Berührpunkt der Menge handelt. Dafür ist zu zeigen, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung ein Punkt der Menge M liegt. Dies ist anschaulich klar, lässt sich aber auch rechnerisch zeigen (mit ein paar Kenntnissen der Vektorrechnung). Zum Beispiel liegt der Punkt [mm] $(1+\bruch{\varepsilon}{2})*(x,y)*\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm] in einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $(x,y)$.
Der letzte Fall ist noch [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\wurzel{x^2+y^2}<\bruch{1}{2}$. [/mm] Für diese Punkte kann man ganz ähnlich wie in Fall 1 schliessen.
Letztendlich haben wir:
[mm]\overline{M}=\{(x,y)\in\IR^2| (\bruch{1}{2} \le \wurzel{x^2+y^2} \le 1)\}[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 14.12.2006 | | Autor: | InfoErsti |
danke marc,
also lag ich gar nicht so verkehrt vom bild her, aber das mit der schreibweise war mir neu...
viele grüße zurück
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