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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Do 05.07.2007 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metri. Raum. Man zeige:
Jede beli. abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq [/mm] X laesst sich als abzaehlbarer Durchschnitt von offenen [mm] A_{\varepsilon} =\{x\in X | d(x,A) < \varepsilon \} [/mm] schreiben. |
Mein Beweis:
" [mm] \subseteq [/mm] " Sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] . So ist klar, dass A [mm] \subseteq A_{\bruch{1}{n}} [/mm] ist, da fuer d(x,A)=0 nur die Menge A uebrig bleibt.
" [mm] \supseteq [/mm] " Sei x ein bel. Element aus dem Durchschnitt. So ist d(x,A) < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Zieht man den Limes, so ist lim d(x,A) =0. Da A auch noch abgeschlossen ist , ist A = [mm] \overline{A}. [/mm] Also x [mm] \in [/mm] A.
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> Sei (X,d) ein metri. Raum. Man zeige:
> Jede beli. abgeschlossene Menge A [mm]\subseteq[/mm] X laesst sich
> als abzaehlbarer Durchschnitt von offenen [mm]A_{\varepsilon} =\{x\in X | d(x,A) < \varepsilon \}[/mm]
> schreiben.
> Mein Beweis:
> " [mm]\subseteq[/mm] " Sei [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] . So ist klar,
> dass A [mm]\subseteq A_{\bruch{1}{n}}[/mm] ist, da fuer d(x,A)=0 nur
> die Menge A uebrig bleibt.
>
> " [mm]\supseteq[/mm] " Sei x ein bel. Element aus dem Durchschnitt.
> So ist d(x,A) < [mm]\bruch{1}{n}.[/mm] Zieht man den Limes, so ist
> lim d(x,A) =0. Da A auch noch abgeschlossen ist , ist A =
> [mm]\overline{A}.[/mm] Also x [mm]\in[/mm] A.
Ich denke: Deine Beweisidee ist schon richtig, nur würde ich einen solchen Beweis, wenn ich ihn in schriftlicher Form zur Benotung abzugeben hätte, sicher nicht so salopp formulieren wollen. Zum Beispiel wäre es eine gute Idee, die Behauptung in der Form hinzuschreiben, wie sie von Dir dann bewiesen wird. Etwa so: [mm] "$(A_{\frac{1}{n}})_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine solche abzählbare Familie von offenen Mengen [mm] $A_\varepsilon \supseteq [/mm] A$, mit [mm] $A=\bigcap_{n\in \IN}A_{\frac{1}{n}}$."
[/mm]
Denn Deine beiden Beweisrichtungen [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$ [/mm] beziehen sich auf diese nicht ausdrücklich hingeschriebene Aussage.
Ich hätte noch weitere "ästhetische Nörgeleien" dieser Art anzubringen, aber wenn Deine Frage sich nur auf die Richtigkeit der Beweisidee bezieht, dann sind weitere Kommentare eigentlich überflüssig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Fr 06.07.2007 | | Autor: | makw |
Geht klar, ich sehe meine kleinen Fehler, aber ein Prof kann die Zwischenschritte erkennen. Trotzdem danke, gut zu wissen, das mein Beweisidee richtig ist.
Marian.
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