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| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei
O = { U [mm] \subset [/mm] M | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 : B(x) [mm] \subset [/mm] U } [mm] \subset [/mm] PM die Menge der offenen Teilmengen von M. Zeigen Sie:
(a) [mm] \emptyset [/mm] , M [mm] \in [/mm] O
(b) Für [mm] U_{1}, [/mm] ... , [mm] U_{k} \in [/mm] O ist auch [mm] U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k} \in [/mm] O
(c) Sei U [mm] \subset [/mm] O, dann ist [mm] \bigcup [/mm] U [mm] \in [/mm] O. |
Kann mir da irgendjemand helfen? ich hab irgendwie überhaupt kein plan, wie des funktioniert, ich blick da garnix.....
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei
> O = { U [mm]\subset[/mm] M | [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\exists \varepsilon[/mm] >
> 0 : B(x) [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } [mm]\subset[/mm] PM die Menge der offenen
> Teilmengen von M. Zeigen Sie:
> (a) [mm]\emptyset[/mm] , M [mm]\in[/mm] O
> (b) Für [mm]U_{1},[/mm] ... , [mm]U_{k} \in[/mm] O ist auch [mm]U_{1} \cap[/mm] ...
> [mm]\cap U_{k} \in[/mm] O
> (c) Sei U [mm]\subset[/mm] O, dann ist [mm]\bigcup[/mm] U [mm]\in[/mm] O.
> Kann mir da irgendjemand helfen? ich hab irgendwie
> überhaupt kein plan, wie des funktioniert, ich blick da
> garnix.....
Hallo,
wie so oft wäre es auch hier wichtig zu wissen, ob Du die Definitionen nicht kennst, die Aufgabe nicht verstehst, oder ob Du an irgendeiner Stelle beim Lösen der Aufgabe nicht weiterkommst.
Du hast also einen metrischen Raum (M,d) (was ist ein metrischer Raum?),
und eine Menge O, welche, wie bereits in der Aufgabe mitgeteilt, aus den offenen Teilmengen v. M besteht.
In der Mengenklammer sollte es gewiß [mm] B_{\varepsilon}(x) [/mm] heißen oder [mm] B(x,\varepsilon).
[/mm]
Damit ist die [mm] \varepsilon_Kugel [/mm] um x gemeint,
und Dein PM sollte sicher P(M) oder mathcal{P}(M) heißen, das ist die Potenzmenge v. M.
Die Menge der offenen Teilemengen v. M ist also eine Teilmenge der Potenzmenge von M - nicht so erstaunlich.
Soweit die Voraussetzungen.
In (a) sollst Duz nun zeigen, daß [mm] \emptyset [/mm] und M offen sind,
in (b), daß der Schnitt endlich vieler offener Teilemengen v. M wieder eine offene Teilmenge v. M ist.
(c) hast Du so aufgeschrieben, daß man es wirklich kaum begreifen kann, ich nehme an, daß Du das, was auf dem Aufgabenblatt stand, großzügig reduziert hast.
Ich vermute mal, daß so etwas gemeint ist:
man nimmt eine Teilmenge U der offenen Mengen v. M, und man soll zeigen, daß das, was entsteht, wenn man alle Elemente v. U vereinigt, wieder eine offene Teilmenge v. M ist.
Gruß v. Angela
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