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Hallo zusammen
Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Sei(X,d) ein metrischer Raum. Für je zwei nichtleere Teilmengen A,B [mm] \subset [/mm] X definieren wir
[mm] \delta(A,B)=sup {d(x,y)|x\inA,y\inB}.
[/mm]
Zeige, dass
[mm] \delta(A,C)\le\delta(A,B)+\delta(B,C) \forall [/mm] A,B,C [mm] \subset [/mm] X
Wie kann ich das zeigen???
Und dann noch die Frage: Definiet [mm] \delta [/mm] eine Metrik auf der Menge aller Teilmengen von X?
Vielen Dank für die Hilfe
Liebe Grüsse
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Hallo Babybel73,
ich bin zwar (noch  ) kein Fachmann auf dem Gebiet, aber versuche mich trotzdem mal an einer Antwort:
> Hallo zusammen
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> Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
> Sei(X,d) ein metrischer Raum. Für je zwei nichtleere
> Teilmengen A,B [mm]\subset[/mm] X definieren wir
> [mm]\delta(A,B)=sup {d(x,y)|x\inA,y\inB}.[/mm]
> Zeige, dass
> [mm]\delta(A,C)\le\delta(A,B)+\delta(B,C) \forall[/mm] A,B,C
> [mm]\subset[/mm] X
> Wie kann ich das zeigen???
Indem du vor allem benutzt, dass d diese Eigenschaft, die der Dreiecksungleichung, ja besitzt!
Es gilt für [mm] x\in [/mm] A, [mm] y\in [/mm] B, [mm] z\in [/mm] C (und damit [mm] x,y,z\in [/mm] X !!!):
$d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$.
(Da d Metrik auf X).
Nun beginne mit der linken Seite der zu zeigenden Ungleichung:
[mm] $\delta(A,C) [/mm] = [mm] sup\{d(x,z)|x\in A, z\in C\}$
[/mm]
Nun benutzen wir die obige Ungleichung!
$= [mm] sup\{d(x,z)|x\in A, y\in B, z\in C\}$
[/mm]
[mm] $\le sup\{d(x,y)+d(y,z)|x\in A, y\in B, z\in C\}$
[/mm]
(Warum dürfen wir das: Da $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$, wird jedes einzelne Elemente der oberen Menge [mm] $\{d(x,z)|x\in A, y\in B, z\in C\}$ [/mm] nach oben abgeschätzt. Dadurch wird natürlich auch das Supremum größer (oder es bleibt gleich)).
Nun noch die Abschätzung:
[mm] $\le sup\{d(x,y)|x\in A, y\in B, z\in C\} [/mm] + [mm] sup\{d(y,z)|x\in A, y\in B, z\in C\} [/mm] $
(mach' dir klar, warum das gilt!) Und der Rest ist ein Katzensprung... Miau.
Zur Frage der Metrik: Überlege, ob wie oben, [mm] \delta [/mm] alle Eigenschaften von d als Metrik erbt.
Dreiecksungleichung hast du schon bewiesen, Positivität ist klar, genauso wie Symmetrie. Du solltest dich nochmal kurz mit der Definitheit auseinandersetzen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Zur Frage der Metrik: Überlege, ob wie oben, [mm]\delta[/mm] alle
> Eigenschaften von d als Metrik erbt.
> Dreiecksungleichung hast du schon bewiesen, Positivität
> ist klar, genauso wie Symmetrie. Du solltest dich nochmal
> kurz mit der Definitheit auseinandersetzen.
und, noch wichtiger (bzw. noch konkreter): ist [mm] $\delta(A, [/mm] B)$ ueberhaupt fuer alle Teilmengen eine reelle Zahl?
LG Felix
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