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Hallo an alle!
Ich bin ein Beweis aus dem Buch durchgegangen und verstehe manche Sachen nicht (habe sie rot markiert). Würde mich freuen wenn jemand mir helfen könnte.
Sei (X, d) metrischer Raum, A [mm] \subset [/mm] X abgeschlossen, K [mm] \subset [/mm] X kompakt mit A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset. [/mm] Dann gilt dist(K, A)>0. Ist K auch nur abgeschlossen, gilt diese
Aussage nicht.
Wir zeigen zunächst, dass für A [mm] \subset [/mm] X abgeschlossen, K [mm] \subset [/mm] X kompakt mit A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset [/mm] gilt dist(K, A)>0.
Es ist dist(K, A) := inf{d(x, y), x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] A} und da stets d( x, y [mm] )\ge0, [/mm] würde für dist(K, A)=0 gelten, dass x = y, wodurch es ein gemeinsames Element in A und K gäbe, was A [mm] \cap [/mm] K [mm] =\emptyset [/mm] widerspricht.
Da K kompakt, die Funktion x [mm] \mapsto [/mm] dist(x, A) mit x [mm] \in [/mm] K stetig ist, nimmt die Funktion nach ihr Maximum ( f ( p) = sup{ f (x) : x [mm] \in [/mm] X}) und Minimum (f(q) = inf{ f (x) : x [mm] \in [/mm] X} ) an. Damit existiert dann also ein Punkt q [mm] \in [/mm] K mit dist(q, A) = dist(K, A) .
Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das Komplement von A, also X \ A, nach der Definition von Abgeschlossenheit,
offen. Daher gibt es per Definition der Offenheit ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_{\varepsilon} [/mm] (q) [mm] \subset [/mm] X \ A. Daraus folgt dist(q, A) [mm] \ge \varepsilon [/mm] , also dist(q, A) > 0 . Da dist(q, A) > 0 schon für das Minimum der Funktion gilt, also der Abstand zum kleinsten Wert echt größer als Null ist, ist der Abstand auch für alle Werte größer als q, echt größer als Null. Somit gilt dist(K, A) > 0 .
Wäre K nun, lediglich abgeschlossen, also insbesondere nicht beschränkt, so könnte die Funktion das Maximum und Minimum aufgrund von Polstellen nicht einnehmen, was mittels folgendem Beispiel gezeigt werden soll:
Seien A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset [/mm] mit A, K abgeschlossene Teilmengen eines metrischen Raumes (X ,d), mit X = [mm] \IR^{2} [/mm] und
A:={(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : xy = 0} als Achsenkreuz im [mm] \IR^{2} [/mm] sowie
K := {(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : xy =1} als Hyperbel im [mm] \IR^{2} [/mm] .
Die Hyperbel hat keine gemeinsamen Punkte mit dem Achsenkreuz, da die
Hyperbel nie den Wert Null für x oder y aufgrund der Definition xy =1
annehmen kann. Somit gilt zwar A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset [/mm] , aber dist(K, A) = 0 .
Somit ist, wenn K nur abgeschlossen mit A [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset, [/mm] die Aussage dist(K, A) > 0 nicht gültig.
Vielen Dank im Voraus. =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Sa 07.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bin ein Beweis aus dem Buch durchgegangen und verstehe
> manche Sachen nicht (habe sie rot markiert). Würde mich
> freuen wenn jemand mir helfen könnte.
>
> Sei (X, d) metrischer Raum, A [mm]\subset[/mm] X abgeschlossen, K
> [mm]\subset[/mm] X kompakt mit A [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset.[/mm] Dann gilt
> dist(K, A)>0. Ist K auch nur abgeschlossen, gilt diese
> Aussage nicht.
> Wir zeigen zunächst, dass für A [mm]\subset[/mm] X abgeschlossen,
> K [mm]\subset[/mm] X kompakt mit A [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gilt dist(K,
> A)>0.
>
> Es ist dist(K, A) := inf{d(x, y), x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A} und da
> stets d( x, y [mm])\ge0,[/mm] würde für dist(K, A)=0 gelten, dass
> x = y, wodurch es ein gemeinsames Element in A und K gäbe,
> was A [mm]\cap[/mm] K [mm]=\emptyset[/mm] widerspricht.
>
> Da K kompakt, die Funktion x [mm]\mapsto[/mm] dist(x, A) mit x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K
> stetig ist, nimmt die Funktion nach ihr Maximum ( f ( p) =
> sup{ f (x) : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X}) und Minimum (f(q) = inf{ f (x) : x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X} ) an. Damit existiert dann also ein Punkt q [mm]\in[/mm] K
> mit dist(q, A) = dist(K, A) .
Es ist doch $dist(K, A) := [mm] \inf\{ dist(q, A) \mid q \in K \}$. [/mm] Und da die Funktion $K [mm] \to \IR$, [/mm] $q [mm] \mapsto [/mm] dist(q, A)$ auf $K$ ein Minimum annimmt, gibt es also ein $q [mm] \in [/mm] K$ mit $dist(q, A)$ gleich diesem Minimum. Also ist fuer dieses $q$ $dist(K, A) = dist(q, A)$.
> Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das Komplement
> von A, also X \ A, nach der Definition von
> Abgeschlossenheit,
> offen. Daher gibt es per Definition der Offenheit ein
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B_{\varepsilon}[/mm] (q) [mm]\subset[/mm] X \ A.
> Daraus folgt dist(q, A) [mm]\ge \varepsilon[/mm]
Fuer jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $dist(q, x) [mm] \ge \varepsilon$, [/mm] da andernfalls $x [mm] \in B_\varepsilon(q)$ [/mm] waere -- was wir ausgeschlossen haben. Da dies fuer jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt, folgt $dist(q, A) [mm] \ge \varepsilon$, [/mm] da $dist(q, A) = [mm] \inf\{ dist(q, x) \mid x \in A \}$ [/mm] ist.
> , also dist(q, A) >
> 0 . Da dist(q, A) > 0 schon für das Minimum der Funktion
> gilt, also der Abstand zum kleinsten Wert echt größer als
> Null ist, ist der Abstand auch für alle Werte größer als
> q, echt größer als Null. Somit gilt dist(K, A) > 0 .
>
> Wäre K nun, lediglich abgeschlossen, also insbesondere
> nicht beschränkt, so könnte die Funktion das Maximum und
> Minimum aufgrund von Polstellen nicht einnehmen, was
> mittels folgendem Beispiel gezeigt werden soll:
> Seien A [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset[/mm] mit A, K abgeschlossene
> Teilmengen eines metrischen Raumes (X ,d), mit X = [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und
> A:={(x, y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: xy = 0} als Achsenkreuz im
> [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sowie
> K := {(x, y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: xy =1} als Hyperbel im [mm]\IR^{2}[/mm]
> .
> Die Hyperbel hat keine gemeinsamen Punkte mit dem
> Achsenkreuz, da die
> Hyperbel nie den Wert Null für x oder y aufgrund der
> Definition xy =1
> annehmen kann. Somit gilt zwar A [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset[/mm] , aber
> dist(K, A) = 0 .
Fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] liegt der Punkt [mm] $x_n [/mm] := (n, 0)$ auf $A$ und der Punkt [mm] $y_n [/mm] := (n, [mm] \frac{1}{n})$ [/mm] auf $K$, und es glit [mm] $\lim_{n\to\infty} dist(x_n, y_n) [/mm] = 0$.
LG Felix
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Hallo und vielen vielen Dank für die tollen erklärungen, ich hab aber noch eine kleine Frage:
> > Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das Komplement
> > von A, also X \ A, nach der Definition von
> > Abgeschlossenheit,
> > offen. Daher gibt es per Definition der Offenheit ein
> > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B_{\varepsilon}[/mm] (q) [mm]\subset[/mm] X \ A.
> > Daraus folgt dist(q, A) [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm], da
> andernfalls [mm]x \in B_\varepsilon(q)[/mm] waere -- was wir
> ausgeschlossen haben. Da dies fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt,
> folgt [mm]dist(q, A) \ge \varepsilon[/mm], da [mm]dist(q, A) = \inf\{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
> ist.
mir ist leider noch nicht klar, warum dist(q, A) nun größer gleich epsilon sein soll. ich weiß einfach nicht woraus das folgt!?
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte
Dankeschön
Mathehase
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 08.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo und vielen vielen Dank für die tollen erklärungen,
> ich hab aber noch eine kleine Frage:
>
> > > Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das Komplement
> > > von A, also X \ A, nach der Definition von
> > > Abgeschlossenheit,
> > > offen. Daher gibt es per Definition der Offenheit
> ein
> > > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B_{\varepsilon}[/mm] (q) [mm]\subset[/mm] X \ A.
> > > Daraus folgt dist(q, A) [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> >
> > Fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm], da
> > andernfalls [mm]x \in B_\varepsilon(q)[/mm] waere -- was wir
> > ausgeschlossen haben. Da dies fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt,
> > folgt [mm]dist(q, A) \ge \varepsilon[/mm], da [mm]dist(q, A) = \inf\{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
> > ist.
> mir ist leider noch nicht klar, warum dist(q, A) nun
> größer gleich epsilon sein soll. ich weiß einfach nicht
> woraus das folgt!?
Ich droesel das mal auf:
1) $dist(q, A)$ ist das Infimum der Menge $Z := [mm] \{ dist(q, x) \mid x \in A \}$
[/mm]
2) fuer jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $dist(q, x) [mm] \ge \varepsilon$
[/mm]
3) also ist jedes Element in $Z$ [mm] $\ge \varepsilon$
[/mm]
4) das Infimum von $Z$ ist also auch [mm] $\ge \varepsilon$
[/mm]
Welche(r) Schritt(e) davon ist dir unklar?
LG Felix
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Hallo^^
> > > > Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das Komplement
> > > > von A, also X \ A, nach der Definition von
> > > > Abgeschlossenheit,
> > > > offen. Daher gibt es per Definition der Offenheit
> > ein
> > > > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B_{\varepsilon}[/mm] (q) [mm]\subset[/mm] X \ A.
> > > > Daraus folgt dist(q, A) [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> > >
> > > Fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm], da
> > > andernfalls [mm]x \in B_\varepsilon(q)[/mm] waere -- was wir
> > > ausgeschlossen haben. Da dies fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt,
> > > folgt [mm]dist(q, A) \ge \varepsilon[/mm], da [mm]dist(q, A) = \inf\{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
> > > ist.
> > mir ist leider noch nicht klar, warum dist(q, A) nun
> > größer gleich epsilon sein soll. ich weiß einfach nicht
> > woraus das folgt!?
>
> Ich droesel das mal auf:
>
> 1) [mm]dist(q, A)[/mm] ist das Infimum der Menge [mm]Z := \{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
>
> 2) fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm]
der hier. der grund warum das größer gleich epsilon sein soll, ist mir nicht klar
> 3) also ist jedes Element in [mm]Z[/mm] [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> 4) das Infimum von [mm]Z[/mm] ist also auch [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
LG
Mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 So 08.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > Aufgrund der Abgeschlossenheit von A, ist das
> Komplement
> > > > > von A, also X \ A, nach der Definition von
> > > > > Abgeschlossenheit,
> > > > > offen. Daher gibt es per Definition der
> Offenheit
> > > ein
> > > > > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B_{\varepsilon}[/mm] (q) [mm]\subset[/mm] X \ A.
> > > > > Daraus folgt dist(q, A) [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> > > >
> > > > Fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm], da
> > > > andernfalls [mm]x \in B_\varepsilon(q)[/mm] waere -- was wir
> > > > ausgeschlossen haben. Da dies fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt,
> > > > folgt [mm]dist(q, A) \ge \varepsilon[/mm], da [mm]dist(q, A) = \inf\{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
> > > > ist.
> > > mir ist leider noch nicht klar, warum dist(q, A) nun
> > > größer gleich epsilon sein soll. ich weiß einfach nicht
> > > woraus das folgt!?
> >
> > Ich droesel das mal auf:
> >
> > 1) [mm]dist(q, A)[/mm] ist das Infimum der Menge [mm]Z := \{ dist(q, x) \mid x \in A \}[/mm]
>
> >
> > 2) fuer jedes [mm]x \in A[/mm] gilt [mm]dist(q, x) \ge \varepsilon[/mm]
>
> der hier. der grund warum das größer gleich epsilon sein
> soll, ist mir nicht klar
Wenn dem nicht so waer, dann waer ja $dist(q, x) < [mm] \varepsilon$ [/mm] und somit $x [mm] \in B_\varepsilon(q)$, [/mm] also [mm] $B_\varepsilon(q) \cap [/mm] A [mm] \neq \emptyset$. [/mm] Allerdings haben wir angenommen, dass [mm] $B_\varepsilon(q) \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A$ ist, was ja [mm] $B_\varepsilon(q) \cap [/mm] A = [mm] \emptyset$ [/mm] bedeuten wuerde.
Also hast du einen Widerspruch.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Mathehase |
ahhhh
sehr cool
ich danke dir sehr
einen schönen abend noch
mathehase
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