Metrischer Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:35 Di 07.05.2013 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(a) Sei X kompakt. Zeigen Sie, dass X dann vollständig ist.
(b) Sei A [mm] \subset [/mm] X und X vollständig. Zeigen Sie: (A, [mm] d_{A}) [/mm] ist genau dann vollständig, wenn A abgeschlossen ist. |
Hallo ihr Lieben :)
Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei meiner Analysisübung. Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie ich hier vorgehen muss? Irgendwie verstehe ich nur Bahnhof und weiß nicht, wie ich die Behauptungen zeigen kann....
LG Sam
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Di 07.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib erstmal die Definitionen von kompakt und von vollstaendig auf. dann ueberleg, was du zeigen sollst.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:06 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X, d) ein metrischer Raum.
> (a) Sei X kompakt. Zeigen Sie, dass X dann vollständig
> ist.
> (b) Sei A [mm]\subset[/mm] X und X vollständig. Zeigen Sie: (A,
> [mm]d_{A})[/mm] ist genau dann vollständig, wenn A abgeschlossen
> ist.
> Hallo ihr Lieben :)
>
> Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei meiner Analysisübung.
> Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie ich hier vorgehen
> muss? Irgendwie verstehe ich nur Bahnhof und weiß nicht,
> wie ich die Behauptungen zeigen kann....
(b) ist harmlos:
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] vollständig ist, dann ist jede Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \in [/mm] A$ für alle [mm] $n\,$
[/mm]
und [mm] $a_n \to [/mm] x [mm] \in [/mm] X$ Cauchyfolge in [mm] $A\,.$ [/mm] (Warum? In [mm] $X\,$ [/mm] konvergente Folgen
sind insbesondere...?) Was folgt dann für den Grenzwert $x [mm] \in [/mm] X$?
Ist umgekehrt [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen und ist [mm] $(c_n)_n$ [/mm] mit [mm] $c_n \in [/mm] A$ für alle [mm] $n\,$
[/mm]
eine Cauchyfolge in [mm] $A\,,$ [/mm] so ist [mm] $(c_n)_n$ [/mm] auch Cauchy in [mm] $X\,.$ [/mm] Es existiert
also ein $y [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $c_n \to y\,.$ [/mm] Wegen der Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$
[/mm]
muss dann aber $y [mm] \in [/mm] ...$ (was?) gelten.
Zu (a):
Da solltest Du nicht mit "überdeckungskompakt" arbeiten, sondern es geht
sehr einfach, wenn Du "kompakt=folgenkompakt" benutzt (dies gilt etwa
in metrischen Räumen), d.h. es gilt [mm] $X\,$ [/mm] ist genau dann kompakt, wenn
jede Folge in [mm] $X\,$ [/mm] auch eine in [mm] $X\,$ [/mm] konvergente Teilfolge hat.
Damit:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Cauchy in [mm] $X\,.$ [/mm] Da [mm] $X\,$ [/mm] kompakt ist, gibt es eine Teilfolge
[mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit [mm] $x_{n_k} \to x_0\,.$
[/mm]
Beweise nun - unter Verwendung der Cauchyfolgeneigenschaft - dass
dann schon [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gelten muss. Daraus folgt dann die
Vollständigkeit! (Denn wir haben "eine beliebige" Cauchyfolge
hergenommen!)
P.S. Natürlich solltest Du am besten immer genau die Metriken mitnehmen,
die bei den Konvergenzaussagen benutzt werden. Und beachte, dass
[mm] $d_A \colon [/mm] A [mm] \times [/mm] A [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] definiert ist durch [mm] $d_{A}:=d_{|A \times A},$ [/mm] d.h. es ist
$d [mm] \colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $X\,,$ [/mm] und [mm] $d_A$ [/mm] ist die Einschränkung von
[mm] $d\,$ [/mm] auf $A [mm] \times A\,.$ [/mm] Kurz: Es gilt [mm] $d_{A}(r,s)=d(r,s)$ [/mm] für alle $r, s [mm] \in [/mm] A [mm] \;\;(\subseteq X)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 07.05.2013 | | Autor: | Sam90 |
>
> (b) ist harmlos:
> Wenn [mm]A\,[/mm] vollständig ist, dann ist jede Folge [mm](a_n)_n[/mm] mit
> [mm]a_n \in A[/mm] für alle [mm]n\,[/mm]
> und [mm]a_n \to x \in X[/mm] Cauchyfolge in [mm]A\,.[/mm] (Warum? In [mm]X\,[/mm]
> konvergente Folgen
> sind insbesondere...?) Was folgt dann für den Grenzwert [mm]x \in X[/mm]?
In [mm] $X\,$ [/mm] konvergente Folgen sind insbesondere kompakt? Und jede Cauchy-Folge besitzt auch einen Grenzwert in A?
>
> Ist umgekehrt [mm]A\,[/mm] abgeschlossen und ist [mm](c_n)_n[/mm] mit [mm]c_n \in A[/mm]
> für alle [mm]n\,[/mm]
> eine Cauchyfolge in [mm]A\,,[/mm] so ist [mm](c_n)_n[/mm] auch Cauchy in
> [mm]X\,.[/mm] Es existiert
> also ein [mm]y \in X[/mm] mit [mm]c_n \to y\,.[/mm] Wegen der
> Abgeschlossenheit von [mm]A\,[/mm]
> muss dann aber [mm]y \in ...[/mm] (was?) gelten.
$y [mm] \in [/mm] A$ muss gelten.
>
> Zu (a):
> Da solltest Du nicht mit "überdeckungskompakt" arbeiten,
> sondern es geht
> sehr einfach, wenn Du "kompakt=folgenkompakt" benutzt
> (dies gilt etwa
> in metrischen Räumen), d.h. es gilt [mm]X\,[/mm] ist genau dann
> kompakt, wenn
> jede Folge in [mm]X\,[/mm] auch eine in [mm]X\,[/mm] konvergente Teilfolge
> hat.
>
> Damit:
> Sei [mm](x_n)_n[/mm] Cauchy in [mm]X\,.[/mm] Da [mm]X\,[/mm] kompakt ist, gibt es
> eine Teilfolge
> [mm](x_{n_k})_k[/mm] von [mm](x_n)_n[/mm] und ein [mm]x_0 \in X[/mm] mit [mm]x_{n_k} \to x_0\,.[/mm]
>
> Beweise nun - unter Verwendung der Cauchyfolgeneigenschaft
> - dass
> dann schon [mm]x_n \to x_0[/mm] gelten muss. Daraus folgt dann die
> Vollständigkeit! (Denn wir haben "eine beliebige"
> Cauchyfolge
> hergenommen!)
Kann ich das auch so machen:
X kompakt <=> X folgenkompakt, das heißt, dass jede Folge [mm] \{a_n\}_{n\in\IN} \subset [/mm] X eine konvergente Teilfolge [mm] \{a_{nk}\}_{k\in\IN} [/mm] in X hat.
<=> Jede Cauchy-Folge [mm] \{a_n\}_{n\in\IN}\subsetX [/mm] hat eine konvergente Teilfolge [mm] \{a_{nk}\}_{k\in\IN} [/mm] in X (1)
=> [mm] \{a_{nk}\}_{k\in\IN} [/mm] => a in X (2)
Folge ist Cauchy-Folge => Folge ist beschränkt und hat maximal einen Häufungspunkt (3)
aus (2) und (3) folgt, dass die Cauchy-Folge gegen a konvergiert.
Daraus folgt:
(1) <=> jede Cauchy-Folge konvergiert in X, somit ist X vollständig
Geht das so?
>
> P.S. Natürlich solltest Du am besten immer genau die
> Metriken mitnehmen,
> die bei den Konvergenzaussagen benutzt werden. Und
> beachte, dass
> [mm]d_A \colon A \times A \to [0,\infty)[/mm] definiert ist durch
> [mm]d_{A}:=d_{|A \times A},[/mm] d.h. es ist
> [mm]d \colon X \times X \to [0,\infty)[/mm] eine Metrik auf [mm]X\,,[/mm]
> und [mm]d_A[/mm] ist die Einschränkung von
> [mm]d\,[/mm] auf [mm]A \times A\,.[/mm] Kurz: Es gilt [mm]d_{A}(r,s)=d(r,s)[/mm] für
> alle [mm]r, s \in A \;\;(\subseteq X)\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Danke für die schnelle Antwort ;)
LG Sam
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > (b) ist harmlos:
> > Wenn [mm]A\,[/mm] vollständig ist, dann ist jede Folge [mm](a_n)_n[/mm]
> mit
> > [mm]a_n \in A[/mm] für alle [mm]n\,[/mm]
> > und [mm]a_n \to x \in X[/mm] Cauchyfolge in [mm]A\,.[/mm] (Warum? In [mm]X\,[/mm]
> > konvergente Folgen
> > sind insbesondere...?) Was folgt dann für den Grenzwert [mm]x \in X[/mm]?
>
> In [mm]X\,[/mm] konvergente Folgen sind insbesondere kompakt?
jetzt fall' ich ja fast vom Stuhl... denk' nach, was Du schreibst. Was ist denn
eine kompakte Folge? Denke lieber an den Namen des guten Mathematikers
hier... (auch, wenn er mehr als nur ein Mathematiker war...)
> Und
> jede Cauchy-Folge besitzt auch einen Grenzwert in A?
[mm] $A\,$ [/mm] (genauer: [mm] $(A,d_A)$) [/mm] ist doch nach Voraussetzung vollständig - also?
> > Ist umgekehrt [mm]A\,[/mm] abgeschlossen und ist [mm](c_n)_n[/mm] mit [mm]c_n \in A[/mm]
> > für alle [mm]n\,[/mm]
> > eine Cauchyfolge in [mm]A\,,[/mm] so ist [mm](c_n)_n[/mm] auch Cauchy in
> > [mm]X\,.[/mm] Es existiert
> > also ein [mm]y \in X[/mm] mit [mm]c_n \to y\,.[/mm] Wegen der
> > Abgeschlossenheit von [mm]A\,[/mm]
> > muss dann aber [mm]y \in ...[/mm] (was?) gelten.
>
> [mm]y \in A[/mm] muss gelten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Zu (a):
> > Da solltest Du nicht mit "überdeckungskompakt"
> arbeiten,
> > sondern es geht
> > sehr einfach, wenn Du "kompakt=folgenkompakt" benutzt
> > (dies gilt etwa
> > in metrischen Räumen), d.h. es gilt [mm]X\,[/mm] ist genau dann
> > kompakt, wenn
> > jede Folge in [mm]X\,[/mm] auch eine in [mm]X\,[/mm] konvergente Teilfolge
> > hat.
> >
> > Damit:
> > Sei [mm](x_n)_n[/mm] Cauchy in [mm]X\,.[/mm] Da [mm]X\,[/mm] kompakt ist, gibt es
> > eine Teilfolge
> > [mm](x_{n_k})_k[/mm] von [mm](x_n)_n[/mm] und ein [mm]x_0 \in X[/mm] mit [mm]x_{n_k} \to x_0\,.[/mm]
>
> >
> > Beweise nun - unter Verwendung der Cauchyfolgeneigenschaft
> > - dass
> > dann schon [mm]x_n \to x_0[/mm] gelten muss. Daraus folgt dann die
> > Vollständigkeit! (Denn wir haben "eine beliebige"
> > Cauchyfolge
> > hergenommen!)
>
> Kann ich das auch so machen:
>
> X kompakt <=> X folgenkompakt, das heißt, dass jede Folge
> [mm]\{a_n\}_{n\in\IN} \subset[/mm] X eine konvergente Teilfolge
> [mm]\{a_{nk}\}_{k\in\IN}[/mm] in X hat.
Was habe ich Dir denn gesagt? Genau, dass Du das machen sollst!!
> <=> Jede Cauchy-Folge [mm]\{a_n\}_{n\in\IN}\subsetX[/mm] hat eine
> konvergente Teilfolge [mm]\{a_{nk}\}_{k\in\IN}[/mm] in X (1)
> => [mm]\{a_{nk}\}_{k\in\IN}[/mm] => a in X (2)
Genau: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hat eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] mit [mm] $a_{n_k} \to [/mm] a [mm] \in [/mm] X$ bei $k [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
> Folge ist Cauchy-Folge => Folge ist beschränkt und hat
> maximal einen Häufungspunkt (3)
Wenn Du mir beweist, dass (3) stimmt - ich sehe das nicht als trivial an!
Habt ihr das in der Vorlesung bewiesen?
> aus (2) und (3) folgt, dass die Cauchy-Folge gegen a
> konvergiert.
> Daraus folgt:
> (1) <=> jede Cauchy-Folge konvergiert in X, somit ist X
> vollständig
>
> Geht das so?
Im Wesentlichen: Ich würde halt einen [mm] $\varepsilon-N(\varepsilon)$- [/mm] Beweis
vorschlagen, um zu zeigen, dass, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] Cauchy ist und es eine Teilfolge
von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt, die gegen ein Element aus [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert, dass dann auch
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] schon gegen dieses Element streben muss. Das ist auch nicht
schwer...
> > P.S. Natürlich solltest Du am besten immer genau die
> > Metriken mitnehmen,
> > die bei den Konvergenzaussagen benutzt werden. Und
> > beachte, dass
> > [mm]d_A \colon A \times A \to [0,\infty)[/mm] definiert ist
> durch
> > [mm]d_{A}:=d_{|A \times A},[/mm] d.h. es ist
> > [mm]d \colon X \times X \to [0,\infty)[/mm] eine Metrik auf [mm]X\,,[/mm]
> > und [mm]d_A[/mm] ist die Einschränkung von
> > [mm]d\,[/mm] auf [mm]A \times A\,.[/mm] Kurz: Es gilt [mm]d_{A}(r,s)=d(r,s)[/mm]
> für
> > alle [mm]r, s \in A \;\;(\subseteq X)\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke für die schnelle Antwort ;)
Gerne!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Di 07.05.2013 | | Autor: | Sam90 |
> > In [mm]X\,[/mm] konvergente Folgen sind insbesondere kompakt?
>
> jetzt fall' ich ja fast vom Stuhl... denk' nach, was Du
> schreibst. Was ist denn
> eine kompakte Folge? Denke lieber an den Namen des guten
> Mathematikers
> hier... (auch, wenn er mehr als nur ein Mathematiker
> war...)
Upps! Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist natürlich auch eine Cauchy-Folge ;)
>
> > Und
> > jede Cauchy-Folge besitzt auch einen Grenzwert in A?
>
> [mm]A\,[/mm] (genauer: [mm](A,d_A)[/mm]) ist doch nach Voraussetzung
> vollständig - also?
Jede Folge hat denselben Grenzwert, hier [mm] d_A [/mm] ? Kann das stimmen? Irgendwie hänge ich hier ein wenig...
>
> > Folge ist Cauchy-Folge => Folge ist beschränkt und hat
> > maximal einen Häufungspunkt (3)
>
> Wenn Du mir beweist, dass (3) stimmt - ich sehe das nicht
> als trivial an!
> Habt ihr das in der Vorlesung bewiesen?
In unserem Skript steht:
Jede Cauchy-Folge in M besitzt höchstens einen Häufungspunkt.
Beweis: Sei [mm] (x_k) [/mm] [mm] \subset [/mm] M eine Cauchy-Folge. Angenommen x, y [mm] \in [/mm] M sind Häufungspunkte von [mm] (x_k) [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] y. Setze [mm] \varepsilon [/mm] = d(x, y). Es gibt dann k, l mit
[mm] d(x_k, [/mm] x) < [mm] \varepsilon/3 [/mm] (x ist Häufungspunkt)
[mm] d(x_l, [/mm] y) < [mm] \varepsilon/3 [/mm] (y ist Häufungspunkt)
[mm] d(x_k, x_l) [/mm] < [mm] \varepsilon/3 [/mm] ( [mm] (x_k) [/mm] ist Cauchy-Folge).
Nun folgt der Widerspruch
d(x, y) [mm] \le [/mm] d(x, [mm] x_k) [/mm] + [mm] d(x_k, x_l) [/mm] + [mm] d(x_l, [/mm] y) < [mm] \varepsilon/3 [/mm] + [mm] \varepsilon/3 [/mm] + [mm] \varepsilon/3 [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] = d(x,y).
>
> > aus (2) und (3) folgt, dass die Cauchy-Folge gegen a
> > konvergiert.
> > Daraus folgt:
> > (1) <=> jede Cauchy-Folge konvergiert in X, somit ist X
> > vollständig
> >
> > Geht das so?
>
> Im Wesentlichen: Ich würde halt einen
> [mm]\varepsilon-N(\varepsilon)[/mm]- Beweis
> vorschlagen, um zu zeigen, dass, wenn [mm](a_n)_n[/mm] Cauchy ist
> und es eine Teilfolge
> von [mm](a_n)_n[/mm] gibt, die gegen ein Element aus [mm]X\,[/mm]
> konvergiert, dass dann auch
> [mm](a_n)_n[/mm] schon gegen dieses Element streben muss. Das ist
> auch nicht
> schwer...
>
Danke und Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > In [mm]X\,[/mm] konvergente Folgen sind insbesondere kompakt?
> >
> > jetzt fall' ich ja fast vom Stuhl... denk' nach, was Du
> > schreibst. Was ist denn
> > eine kompakte Folge? Denke lieber an den Namen des
> guten
> > Mathematikers
> > hier... (auch, wenn er mehr als nur ein Mathematiker
> > war...)
>
> Upps! Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist
> natürlich auch eine Cauchy-Folge ;)
> >
> > > Und
> > > jede Cauchy-Folge besitzt auch einen Grenzwert in A?
> >
> > [mm]A\,[/mm] (genauer: [mm](A,d_A)[/mm]) ist doch nach Voraussetzung
> > vollständig - also?
>
> Jede Folge hat denselben Grenzwert, hier [mm]d_A[/mm] ?
jetzt rede keinen Quatsch [mm] ($d_A$ [/mm] ist 'ne METRIK, kein Grenzwert). Jede
Cauchyfolge in [mm] $A\,$ [/mm] hat bzgl. der Metrik [mm] $d_A$ [/mm] einen Grenzwert in
[mm] $A\,,$ [/mm] wegen der vorausgesetzten Vollständigkeit.
Weil [mm] $d_A=d_{|A \times A}$ [/mm] ist, konvergiert sie auch im metrischen Raum
$(X,d)$ - und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Wenn man die Folge als
Folge in [mm] $A\,$ [/mm] betrachtet hat, musste der Grenzwert aber in $A [mm] \subseteq [/mm] X$
liegen.
Also grob: Sei $A [mm] \ni a_n \to [/mm] a [mm] \in X\,$ [/mm] bzgl. [mm] $d\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] insbesondere eine
Cauchyfolge in [mm] $(X,d)\,.$ [/mm] Wegen [mm] $d_A=d_{|A \times A}$ [/mm] ist dann [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch
Cauchyfolge in [mm] $(A,d_A)\,.$ [/mm] (Ist Dir das klar??) Der Grenzwert von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzgl.
[mm] $d_A$ [/mm] muss wegen der Vollständigkeit von [mm] $(A,d_A)$ [/mm] zu [mm] $A\,$ [/mm] gehören - nennen wir
den Grenzwert hier mal [mm] $\tilde{a}\.$ [/mm] - es gilt dann also [mm] $\tilde{a} \in A\,.$ [/mm]
Insbesondere stimmt dieser Grenzwert wegen [mm] $d_A=d_{|A \times A}$ [/mm] mit dem Grenzwert von [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] überein: Es muss also [mm] $a=\tilde{a}$ [/mm] sein. (Warum?)
Also folgt $a [mm] \in A\,$ [/mm] wegen [mm] $\tilde{a} \in A\,.$ [/mm] Demnach ist [mm] $A\,$ [/mm] abgeschlossen!
> Kann das
> stimmen? Irgendwie hänge ich hier ein wenig...
> >
>
> > > Folge ist Cauchy-Folge => Folge ist beschränkt und hat
> > > maximal einen Häufungspunkt (3)
> >
> > Wenn Du mir beweist, dass (3) stimmt - ich sehe das nicht
> > als trivial an!
> > Habt ihr das in der Vorlesung bewiesen?
>
> In unserem Skript steht:
> Jede Cauchy-Folge in M besitzt höchstens einen
> Häufungspunkt.
> Beweis: Sei [mm](x_k)[/mm] [mm]\subset[/mm] M eine Cauchy-Folge.
> Angenommen x, y [mm]\in[/mm] M sind Häufungspunkte von [mm](x_k)[/mm] mit x
> [mm]\not=[/mm] y. Setze [mm]\varepsilon[/mm] = d(x, y). Es gibt dann k, l mit
> [mm]d(x_k,[/mm] x) < [mm]\varepsilon/3[/mm] (x ist Häufungspunkt)
> [mm]d(x_l,[/mm] y) < [mm]\varepsilon/3[/mm] (y ist Häufungspunkt)
> [mm]d(x_k, x_l)[/mm] < [mm]\varepsilon/3[/mm] ( [mm](x_k)[/mm] ist Cauchy-Folge).
> Nun folgt der Widerspruch
> d(x, y) [mm]\le[/mm] d(x, [mm]x_k)[/mm] + [mm]d(x_k, x_l)[/mm] + [mm]d(x_l,[/mm] y) <
> [mm]\varepsilon/3[/mm] + [mm]\varepsilon/3[/mm] + [mm]\varepsilon/3[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> = d(x,y).
Okay, dann verwende das: Jede Cauchyfolge hat höchstens einen
Häufungspunkt in [mm] $X\,,$ [/mm] und wegen der Kompaktheit hat hier jede auch
mindestens einen Häufungspunkt in [mm] $X\,.$ [/mm] Damit hat jede Cauchyfolge
genau einen Häufungspunkt in [mm] $X\,$ [/mm] und ist damit in [mm] $X\,$ [/mm] konvergent.
Also ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] vollständig.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
