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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mi 14.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und Y [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge. Zeige, dass
[mm] Y_{1}= \cap [/mm] {A [mm] \subseteq [/mm] X | A abgeschlossen und Y [mm] \subseteq [/mm] A}, wobei [mm] Y_{1} [/mm] die kleinste abgeschlossene Obermenge von Y ist. |
guten Abend,
Wir haben gerade neu begonnen mit den metrischen Räumen.. ist eigentlich völlig klar, aber mit dieser Aufgabe komme ich nicht voran.
Könnte jemand so nett sein und mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Nun, wie definiert ihr denn die "kleinste abgeschlossene Obermenge"?
Eine weitere bekannte Definition des Abschlusses einer Menge [mm] $A\subset [/mm] X$ ist durch die Menge der Punkte [mm] $x\in [/mm] X$ gegeben, für die [mm] $U\cap A\neq\emptyset$ [/mm] für jede Umgebung $U$ von $x$ gilt.
Habt ihr die "kleinste abgeschlossene Obermenge" so definiert?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mi 14.06.2006 | | Autor: | melek |
hi, unsere definition lautet: Ist Y Teilmenge eines metrischen Raumes X, so heißt
der Abschluss:=Y [mm] \cup \partial [/mm] Y die abgeschlossene Hülle von Y.
ich kann damit aber nicht sehr viel anfangen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 15.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Melek.
Okay.
Die Menge [mm] $\partial [/mm] Y$ enthält genau diejenigen Elemente [mm] $x\in [/mm] X$, für die jede Umgebung $U$ von $x$ nichtleeren Schnitt sowohl mit $Y$ als auch mit [mm] $X\setminus [/mm] Y$ hat.
Da jede Umgebung $U$ eines Elementes [mm] $y\in [/mm] Y$ auch $y$ selbst enthält, ist der Schnitt [mm] $U\cap [/mm] Y$ nicht-leer.
Zusammengefasst entspricht [mm] $Y\cup \partial [/mm] Y$ also genau der Menge der Elemente [mm] $x\in [/mm] X$, für die jede Umgebung $U$ von $x$ einen nicht-leeren Schnitt mit $Y$ hat.
Darauf lässt sich aufbauen. Sei [mm] ${\cal M}$ [/mm] die Menge der abgeschlossenen Obermengen von $Y$, so ist zu zeigen, dass [mm] $\bigcap_{M\in {\cal M}} M=Y\cup\partial [/mm] Y$ gilt. Dies kann aufgeteilt werden in die Inklusionen [mm] $\bigcap_{M\in{\cal M}} M\subset Y\cup\partial [/mm] Y$ und [mm] $\Y\cup\partial Y\subset\bigcap_{M\in{\cal M}}$.
[/mm]
Betrachten wir mal exemplarisch die erste Inklusion; es sei also ein [mm] $x\in\bigcap_{M\in{\cal M}} [/mm] M$ gegeben. Nehmen wir an, es sei [mm] $x\notin (Y\cup\partial [/mm] Y)$. Dann gäbe es ja eine o.E. offene Umgebung $U$ von $x$, die $Y$ nicht schneidet. Dann ist [mm] $X\setminus [/mm] U$ abgeschlossen und Obermenge von $Y$, die $x$ nicht enthält. Das kann aber nicht sein, da dann [mm] $X\setminus U\in {\cal M}$ [/mm] und wegen [mm] $x\in\bigcap_{M\in {\cal M}} [/mm] M$ damit auch [mm] $x\in X\setminus [/mm] U$ gilt. Daher ist der Schnitt einer Umgebung $U$ von $x$ mit $Y$ stets nicht-leer, d.h. [mm] $x\in Y\cup\partial [/mm] Y$.
Die andere Inklusion läuft ähnlich. Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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