Metropolis Algorithmus < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:01 So 28.12.2014 | | Autor: | fxk14i |
| Aufgabe | a) Der Metropolis Algorithmus: $S$ sei eine endliche Menge: $F: S [mm] \rightarrow [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm] Wir konstruieren eine Markovkette wie folgt: Wenn wir uns in $X [mm] \in [/mm] S$ befinden, wählen wir einen neuen Zustand $y$ gleichverteilt in $S$; wenn $f(y) [mm] \geq [/mm] f(x)$, dann ist $y$ unser neuer Zustand, anderenfalls gehen wir mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{f(y)}{f(x)}$ [/mm] nach $y$ und bleiben mit Wahrscheinlichkeit $1 - [mm] \frac{f(y)}{f(x)}$ [/mm] in $x$. Zeigen Sie, dass diese Markovkette die vollständige Gleichgewichtsbedingung erfüllt mit der stationären Verteilung [mm] $\pi_x [/mm] = C [mm] \cdot [/mm] f(x)$.
b) Gibbs sampling: Wie vorher, nur wird jetzt $y$ mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{f(y)}{f(x) + f(y)}$ [/mm] als neuer Zustand gewählt, $x$ mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{f(x)}{f(x) + f(y)}$.
[/mm]
c) Variation von Gibbs/Metropolis: Jetzt soll zusätzlich zu den vorherigen Annahmen zu jedem $x$ eine ''Umgebung'' $U(x)$ existieren mit folgenden Eigenschaften:
* $|U(x)| = M$ (konstant)
* wenn $y [mm] \in [/mm] U(x)$, dann ist auch $x [mm] \in [/mm] U(y)$
* für jedes $x$ und $y$ gibt es [mm] $x_0, x_1, \ldots, x_n$ [/mm] mit [mm] $x_0 [/mm] = x, [mm] x_n [/mm] = y$ und [mm] $x_i \in U(x_{i-1}), \quad [/mm] i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$.
Die Algorithmen aus a und b werden so modifiziert, dass $y$ gleichverteilt in $U(x)$ gewählt wird. Zeigen Sie, dass auch hier die stationäre Verteilung von derselben Form ist. |
Grunsätzlich ist mir klar, dass die stationäre Verteilung quasi der Grenzwert der Markovkette ist, also [mm] $\pi [/mm] * P = [mm] \pi$
[/mm]
Mein Problem ist nun unter anderem, wie ich genau die Übergangsmatrix bestimme bzw die grundätzliche Herangehensweise,( ich denke, wenn ich Punkt a verstehe, sollten die Punkte b und c kein Problem sein). Außerdem finde ich nirgendo, was genau die vollständige Gleichgewichtsbedingung ist.
Vermutlich geht es ja nicht so einfach, dass man sagen kann, die wahrscheinlichkeit, da gleichverteilt, dass $f(x) < f(y)$ ist [mm] $50\%$, [/mm] also Wsl, dass $y$ neuer Zustand [mm] $75\%$ [/mm] und Wsl dass ich in $x$ bleibe [mm] $25\%$
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand einen Hinweis geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 So 28.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Klar, dass man nicht weiterkommt, wenn man die Definition nicht kennt. ;) Mir war das mit dem Gleichgewicht auch nicht geläufig. Aber ich habe das hier gefunden:
![[]](/images/popup.gif) KLICK
Die Definition sieht selbst nicht so schwierig aus, vielleicht kannst du damit etwas anfangen. Ich denke mal, dass zumindest dieses Gleichgewicht gemeint ist, weil der Metropolisalgorithmus dort als Beispiel angeführt wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 05.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
