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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Do 16.07.2009 | | Autor: | Skyryd |
| Aufgabe | | U(x,y,z) = [mm] \bruch{1}{2}*lnx [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*lny [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*lnz [/mm] |
Hallo erst mal.
Ich bezweifel zwar, dass die Frage hier beantwortet werden kann, aber versuchen kann ich es ja:)
Die ganze Aufgabe bezieht sich auf die Mikroökonomie. Oben genannte Funktion ist die gegebene Nutzenfunktion.
Zuerst sollten wir die Grenznutzen der Güter x, y und z bestimmen. Kein Problem...also einfach die Ableitungen:
MUx = [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
MUy = [mm] \bruch{1}{3y}
[/mm]
MUz = [mm] \bruch{1}{6z}
[/mm]
Danach sollten wir die Grenzrate der Substitution für x und y bzw. für x und z bestimmen. Wieder kein Problem.
GRSxy = - [mm] \bruch{MUx}{MUy} [/mm] = - [mm] \bruch{3y}{2x}
[/mm]
GRSxz = - [mm] \bruch{3z}{x}
[/mm]
Nun sollten wir zuletzt die Nachfragefunktionen der Güter x,y und z bestimmen, wenn das gesamte Einkommen I für den Kauf der drei Güter aufgewendet wird. Und genau hier komm ich nicht weiter. Irgendwo hakt bei mir der Denkprozess, weil ich einfach nich blick, wie ich in diesem Fall und auch generell von der Nutzenfunktion auf die Nachfragefunktion schließen kann. Ich nehm mal an, der Lagrange-Ansatz hat was damit zu tun und die Nebenbedingung von Einkommen (I) = [mm] P_{x}*x [/mm] + [mm] P_{y}*y+P_{z}*z. [/mm]
In der Kurzlösung stehen übrigens die Ergebnisse: x = [mm] \bruch{I}{2P_{x}}, [/mm] y = [mm] \bruch{I}{3P_{y}} [/mm] und z = [mm] \bruch{I}{6P_{z}}
[/mm]
Ich hab ständig das Gefühl, dass es ganz einfach ist und direkt vor meinen Augen steht, aber so oft ich mir auch alles durchles, ich komm einfach nich weiter.
Vielleicht ist ja jemand hier unterwegs, der davon ein bisschen Ahnung hat.
Vielen Dank schon mal
Sky
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Hallo Skyryd,
> U(x,y,z) = [mm]\bruch{1}{2}*lnx[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}*lny[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}*lnz[/mm]
> Hallo erst mal.
>
> Ich bezweifel zwar, dass die Frage hier beantwortet werden
> kann, aber versuchen kann ich es ja:)
>
> Die ganze Aufgabe bezieht sich auf die Mikroökonomie. Oben
> genannte Funktion ist die gegebene Nutzenfunktion.
>
> Zuerst sollten wir die Grenznutzen der Güter x, y und z
> bestimmen. Kein Problem...also einfach die Ableitungen:
>
> MUx = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
> MUy = [mm]\bruch{1}{3y}[/mm]
> MUz = [mm]\bruch{1}{6z}[/mm]
>
> Danach sollten wir die Grenzrate der Substitution für x
> und y bzw. für x und z bestimmen. Wieder kein Problem.
>
> GRSxy = - [mm]\bruch{MUx}{MUy}[/mm] = - [mm]\bruch{3y}{2x}[/mm]
> GRSxz = - [mm]\bruch{3z}{x}[/mm]
>
> Nun sollten wir zuletzt die Nachfragefunktionen der Güter
> x,y und z bestimmen, wenn das gesamte Einkommen I für den
> Kauf der drei Güter aufgewendet wird. Und genau hier komm
> ich nicht weiter. Irgendwo hakt bei mir der Denkprozess,
> weil ich einfach nich blick, wie ich in diesem Fall und
> auch generell von der Nutzenfunktion auf die
> Nachfragefunktion schließen kann. Ich nehm mal an, der
> Lagrange-Ansatz hat was damit zu tun und die Nebenbedingung
> von Einkommen (I) = [mm]P_{x}*x[/mm] + [mm]P_{y}*y+P_{z}*z.[/mm]
Da liegst Du richtig.
Nun, maximiere
[mm]U\left(x,y,z\right)=\bruch{1}{2}*\ln\left(x\right) + \bruch{1}{3}*\ln\left(y\right)+\bruch{1}{6}*\ln\left(z\right)[/mm]
unter der Nebenbedingung
[mm]I = P_{x}*x + P_{y}*y+P_{z}*z[/mm]
>
> In der Kurzlösung stehen übrigens die Ergebnisse: x =
> [mm]\bruch{I}{2P_{x}},[/mm] y = [mm]\bruch{I}{3P_{y}}[/mm] und z =
> [mm]\bruch{I}{6P_{z}}[/mm]
> Ich hab ständig das Gefühl, dass es ganz einfach ist und
> direkt vor meinen Augen steht, aber so oft ich mir auch
> alles durchles, ich komm einfach nich weiter.
>
> Vielleicht ist ja jemand hier unterwegs, der davon ein
> bisschen Ahnung hat.
>
> Vielen Dank schon mal
> Sky
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 16.07.2009 | | Autor: | Skyryd |
| Aufgabe | Lagrange: [mm] \bruch{1}{2}*lnX+\bruch{1}{3}*lnY+\bruch{1}{6}lnZ [/mm] - [mm] \lambda*(P_{x}X+P_{y}Y+P_{z}Z [/mm] - I)
dL/dx = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] - [mm] \lambda*P_{x}
[/mm]
dL/dy = [mm] \bruch{1}{3y} [/mm] - [mm] \lambda*P_{y}
[/mm]
dL/dz = [mm] \bruch{1}{6z} [/mm] - [mm] \lambda*P_{z}
[/mm]
[mm] dL/d\lambda [/mm] = [mm] -P_{x}X-P_{y}Y-P_{z}Z [/mm] + I |
Hoffe, dass es bis hierhin richtig ist, was ich gemacht habe. Trotzdem versteh ich mein Ziel nicht wirklich ab hier. Normalerweise haben wir nun die Ableitungen (x,y,z) nach [mm] \lambda [/mm] umgestellt und dann gleichgesetzt...aber wohin mich das bringen soll, weiß ich im Moment nicht. Bzw. was das mit der Nachfragefunktion zu tun hat.
Dann hätte ich [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{P_{x}}{2X} [/mm] = [mm] \bruch{P_{y}}{3Y} [/mm] = [mm] \bruch{P_{z}}{6Z}
[/mm]
Hab grade gesehen, dass es hier auch ein Politik/Wirtschafts-Forum gibt. Falls ich also hier falsch gepostet habe, entschuldigung und bitte verschieben:)
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Hallo Skyryd,
> Lagrange: [mm]\bruch{1}{2}*lnX+\bruch{1}{3}*lnY+\bruch{1}{6}lnZ[/mm]
> - [mm]\lambda*(P_{x}X+P_{y}Y+P_{z}Z[/mm] - I)
>
> dL/dx = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] - [mm]\lambda*P_{x}[/mm]
> dL/dy = [mm]\bruch{1}{3y}[/mm] - [mm]\lambda*P_{y}[/mm]
> dL/dz = [mm]\bruch{1}{6z}[/mm] - [mm]\lambda*P_{z}[/mm]
> [mm]dL/d\lambda[/mm] = [mm]-P_{x}X-P_{y}Y-P_{z}Z[/mm] + I
> Hoffe, dass es bis hierhin richtig ist, was ich gemacht
> habe. Trotzdem versteh ich mein Ziel nicht wirklich ab
> hier. Normalerweise haben wir nun die Ableitungen (x,y,z)
> nach [mm]\lambda[/mm] umgestellt und dann gleichgesetzt...aber wohin
> mich das bringen soll, weiß ich im Moment nicht. Bzw. was
> das mit der Nachfragefunktion zu tun hat.
>
> Dann hätte ich [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{P_{x}}{2X}[/mm] =
> [mm]\bruch{P_{y}}{3Y}[/mm] = [mm]\bruch{P_{z}}{6Z}[/mm]
Hier muß es doch lauten:
[mm]\lambda = \bruch{1}{\red{P_{x}}*2X} = \bruch{1}{\red{P_{y}}*3Y} = \bruch{1}{\red{P_{z}}*6Z}[/mm]
Daraus erhältst Du nun durch Verhältnisbildung folgende Gleichungen:
[mm]X*P_{x}=\alpha*Y*P{y}[/mm]
[mm]X*P_{x}=\beta*Z*P{z}[/mm]
[mm]Y*P_{y}=\gamma*Z*P{z}[/mm]
Nun stelle die Gleichungen so um, daß Du
[mm]Y*P{y}[/mm] und [mm]Z*P_{z}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]X*P_{x}[/mm] ausdrücken kannst.
Setze dies dann in
[mm]I=X*P_{x}+Y*P_{y}+Z*P_{z}[/mm]
ein und löse nach X auf.
Analog funktioniert das für Y bzw. Z.
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> Hab grade gesehen, dass es hier auch ein
> Politik/Wirtschafts-Forum gibt. Falls ich also hier falsch
> gepostet habe, entschuldigung und bitte verschieben:)
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 16.07.2009 | | Autor: | Skyryd |
Oje, sry, das war mein Fehler mit der Umstellung nach [mm] \lambda.
[/mm]
Allerdings versteh ich im Moment nur Bahnhof. Mein Mathe is echt schon sehr lange her und ich hab noch nie was von Verhältnisbildung gehört...wüsste nich mal, wie ich auf diese Formeln kommen könnte:(
Aber dank dir schon mal. Jetzt gehts erst mal ins Bett...
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