Milchtütenaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Logan |
Hi Marc,
habe da ein kleines Problem mit der Milchtütenaufgabe, die ich schon das letzte mal bei der Nachhilfe angefangen habe.
Ich müsste bei dieser ersten Ableitung
( [mm] -8x^4 [/mm] - [mm] 16,5x^3 [/mm] + 4000x+1000 ) eigentlich eine Polynomdivision durchführen, kann aber nicht den richtigen x-Wert finden, mit welchem die Funktion Null ergibt.
Ori (Orestes)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> habe da ein kleines Problem mit der Milchtütenaufgabe, die ich
> schon das letzte mal bei der Nachhilfe angefangen habe.
> Ich müsste bei dieser ersten Ableitung
> ( [mm] -8x^4 [/mm] - [mm] 16,5x^3 [/mm] + 4000x+1000 ) eigentlich eine
> Polynomdivision durchführen, kann aber nicht den richtigen
> x-Wert finden, mit welchem die Funktion Null ergibt.
Ich habe die Aufgabe auch weiter gerechnet, bin aber auch an dieser Stelle stutzig geworden.
Ich habe dann gedacht, dass die Tüte vielleicht auch an der rechten Seite einen Rand von 0,5 cm hätte, und komme dann auf diese Nullstellen-Gleichung der ersten Ableitung:
[mm] 8x^4+17x^3-4000x-2000=0[/mm]
Davon finde ich auch keine Nullstellen :-(
Werde es jetzt mal weiter versuchen...
Bis hoffentlich gleich,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Logan |
Ich glaube, da brauchst du auch nicht mehr weiter zu probieren, denn eine dieser Aufgaben kann man nicht lösen. Das meinte zumindest meine Lehrerin. Das ist dann wahrscheinlich diese Aufgabe.
Übrigens wollte ich noch sagen, dass die Idee einen solchen Matheraum zu gründen echt cool ist. Werde in der Schule mal ein bisschen Werbung für euch machen. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ori
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
ich habe die Lösung!
Wir haben alles richtig gerechnet, nur kann man die Aufgabenstellung noch geschickter beantworten.
Die Frage lautete ja: "Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs optimiert?"
Diese Frage können wir beantworten, ohne vorher den optimimalen Materialverbrauch auszurechnen, und zwar so:
Besorge dir eine Milchtüte mit quadratischer Grundfläche, und miss die Seitenlängen der Grundfläche. Bei einem Anschauungsobjekt in meinem Kühlschrank messe ich x=7cm.
Wäre dies die optimale Seitenlänge, dann müßte doch [mm]A'(x_0)=0[/mm] gelten, denn die Funktion A (die ja den Materialverbrauch angibt) müßte dort ein Minimum haben.
Wie lautet nun deine Antwort, ist deine reale Milchtüte hinsichtlich des Materialverbrauchs optimiert, oder nicht?
Viel Erfolg,
Marc
PS.: Die Nullstellen von A'(x)=0 kann man zwar nicht exakt ermitteln, aber doch durch ein numerisches Verfahren annähernd bestimmen, z.B. mit meinem Funktionenplotter FunkyPlot 
Zum Spaß (?) habe ich mal die Funktion A'(x) von FunkyPlot zeichnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Logan |
Hätte man die Stelle x=7 cm in die zweite Ableitung eingesetzen und dabei ein Minimum rauskämme, dann wäre doch der Materialverbrauch nicht optimiert. Er wäre nur bei einem Maximum optimiert.
Also so ganz versteh ich das nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Hätte man die Stelle x=7 cm in die zweite Ableitung eingesetzen
> und dabei ein Minimum rauskämme, dann wäre doch der
> Materialverbrauch nicht optimiert. Er wäre nur bei einem
> Maximum optimiert.
Nein, es gilt doch der Satz:
[mm] f(x_0) [/mm] hat an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein relatives Extremum
=> [mm] f'(x_0) [/mm] = 0
Jetzt sollst du ja überprüfen, ob die Funktion A(x) an der Stelle [mm]x_0=7[/mm] ein Extremum hat.
Angenommen, sie hätte eines, dann müßte doch gelten [mm]A'(7)=0[/mm] (notwendige Bedingung). Falls aber [mm]A'(7)\neq0[/mm], dann ist 7 auch keine Extremstelle!
Wie lautet also deine Antwort?
(Die zweite Ableitung wird nur benötigt, um herauszufinden, ob ein Extremum eine Minimum oder Maximum ist, bei dieser Aufgabe ist es aber gar nicht nötig, sich da noch Gedanken drüber zu machen, weil...?)
> Also so ganz versteh ich das nicht.
Jetzt?
Gruß,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Logan |
Ahhhhhhhhhh
Jetzt versteh ich. Falls [mm] A'(7)\neq0 [/mm] , dann ist 7 keine Extremstelle und somit ist die Milchtüte mit x= 7 auch nicht optimiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ahhhhhhhhhh
> Jetzt versteh ich. Falls [mm] A'(7)\neq0 [/mm] , dann ist 7
> keine Extremstelle und somit ist die Milchtüte mit x= 7 auch
> nicht optimiert.
Exakt!
Wie du an dem Plot in einem meiner früheren Artikel erkennst, liegt die Nullstelle von A' bei 7,39, also schon deutlich daneben.
Wir können ja mal ausrechnen, wie viel Material verschwendet wird:
A(7) = 895,13cm²
A(7,39) = 892,81cm²
Also sind A(7)-A(7,39) [mm]\cong[/mm] 2,32 cm² verschwendet worden. Bei Millionen von Milchtüten summiert sich das schon auf einen beträchtliche Fläche...
So, diese Aufgabe dürfte jetzt klar sein.
Wie sieht's mit der letzen Aufgabe des Zettels aus? Habe die zum Spaß auch schon durchgerechnet...
Schönen Abend,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Logan |
Ehm
Habe mir die gerade durchgelesen. Keine Ahnung wie ich da anfangen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ehm
> Habe mir die gerade durchgelesen. Keine Ahnung wie ich da
> anfangen könnte.
Doch, das glaube ich aber schon 
Wir sprechen doch über die Aufgabe mit dem Zaun der Länge 100m, oder?
Das ist eine Standard-Extremwertaufgabe, das bekommst du schon hin.
Ich werde die Aufgabenstellung gleich hier ins Forum setzen, damit auch andere was davon haben, und vielleicht können wir ja sogar eine Musterlösung entwickeln.
Bis gleich,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 So 09.11.2003 | | Autor: | Logan |
Tach Marc,
also der Flächeninhalt ist schon mal die Extremalbedingung:
A = a * b bzw. A = x*y.
Dann dachte ich der Umfang könnte die Nebenbedingung sein.
Stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
habe jetzt einen eigenen Thread für die Aufgabe erstellt (über diesem hier), da können wir uns dann über die Aufgabe unterhalten.
Gruß,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Oops, da haben wir beide zeitgleich gepostet!
Ich werde deine Frage einfach zum anderen Thread verschieben, OK?
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