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| Aufgabe | Aufgabe mit Drei-Mindestens
5% aller Fahrgäste der Linie U9 in Berlin sind Schwarzfahrer. Wie
viele Fahrgäste muss ein BVG-Kontrolleur (mindestens) prüfen,
damit er mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit auf
(mindestens) einen Schwarzfahrer trifft? |
Hallo zusammen,
ich habe mir folgendes Script durchgelesen: http://userpage.fu-berlin.de/decarmen/index_sto_Material.htm --> 3-mindestens-Aufgabe Münzwurf
Danach kommen die Übungsaufgaben (eine davon siehe oben).
Da ich mich etwas schwer tue, wollte ich zunächst die Aufgabe als Urnenmodell interpretieren und dann einen Baum zeichnen.
Ich hätte das Urnenmodell so interpretiert: z.B. 100 Kugeln mit 5 schwarzen (schwarzfahrer) und 95 weiße Kugeln. Ziehen ohne Zurücklegen (da ich als Kontrolleur ja das Gesicht des Passagiers kenne und erkenne, dass ich ihn bereits kontrolliert habe).
Mit Ziehen ohne zurücklegen funktioniert allerdings dann die Erklärung auf dem AB nicht mehr...
Denn die Lösung des ABs geht von Ziehen MIT zurücklegen aus.
Beispiel am Urnenmodell: Ich ziehe 3 Personen heraus
A: Mindestens ein Schwarzfahrer
[mm] \overline{A}: [/mm] Kein einziger Schwarzfahrer
[mm] P(\overline{A}) [/mm] = 1- [mm] $95\over{100}$\cdot {94\over 99} \cdot {93\over 98}=14,4\%
[/mm]
D.h. wenn man bei einer Kontrolle von 100 Personen 3 Personen kontrolliert, hat man mit 14,4% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Schwarzfahrer dabei.
Wenn ich das nun mit der Lösungsvariante vom AB mache (wobei ich anstelle 90% diese 14,4% nehme)
1-P("keinen Schwarzfahrer")>= 0,144
1- [mm] \left(95 \over 100\right)^n [/mm] >=0,144
0,856>= [mm] \left(95 \over 100\right)^n [/mm] |ln(...)
ln(0,856)>=n [mm] ln\left(95 \over 100\right)
[/mm]
n >=3.03
Der Schaffner muss mindestens 3.03 Personen kontrollieren, um mindestens einen Schwarzfahrer zu ertappen.
Bei der geringen Anzahl von Personen ist es noch annähernd korrekt. Allerdings stimmt es bei n=45 nicht mehr.
Beim Urnenmodell mit zurücklegen:
wenn man bei einer Kontrolle von 100 Personen 45 Personen kontrolliert, hat man mit 95,38% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Schwarzfahrer dabei.
Bei der anderen Variante hat man bei einer Kontrolle von 45Personen eine Wahrscheinlichkeit von 90%.
Ich weiß, dass mein Denkfehler beim Urnenmodell OHNE zurücklegen liegt. Aber wieso?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 03.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aufgabe mit Drei-Mindestens
> 5% aller Fahrgäste der Linie U9 in Berlin sind
> Schwarzfahrer. Wie
> viele Fahrgäste muss ein BVG-Kontrolleur (mindestens)
> prüfen,
> damit er mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit auf
> (mindestens) einen Schwarzfahrer trifft?
> Hallo zusammen,
> ich habe mir folgendes Script durchgelesen:
> http://userpage.fu-berlin.de/decarmen/index_sto_Material.htm
> --> 3-mindestens-Aufgabe Münzwurf
> Danach kommen die Übungsaufgaben (eine davon siehe
> oben).
>
> Da ich mich etwas schwer tue, wollte ich zunächst die
> Aufgabe als Urnenmodell interpretieren und dann einen Baum
> zeichnen.
> Ich hätte das Urnenmodell so interpretiert: z.B. 100
> Kugeln mit 5 schwarzen (schwarzfahrer) und 95 weiße
> Kugeln. Ziehen ohne Zurücklegen (da ich als Kontrolleur ja
> das Gesicht des Passagiers kenne und erkenne, dass ich ihn
> bereits kontrolliert habe).
> Mit Ziehen ohne zurücklegen funktioniert allerdings dann
> die Erklärung auf dem AB nicht mehr...
> Denn die Lösung des ABs geht von Ziehen MIT zurücklegen
> aus.
Das ist auch korrekt, denn dem einzelnen Schwarzfahrer ist es herzlich egal, ob andere Schwarzfahrer in der Bahn sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person schwarz fährt, ist also unabhängig davon, ob vorher schon andere Kontrollen stattgefunden haben.
>
> Beispiel am Urnenmodell: Ich ziehe 3 Personen heraus
> A: Mindestens ein Schwarzfahrer
> [mm]\overline{A}:[/mm] Kein einziger Schwarzfahrer
> [mm]P(\overline{A})[/mm] = 1- [mm]95\over{100}[/mm][mm] \cdot {94\over 99} \cdot {93\over 98}=14,4\%[/mm]
>
> D.h. wenn man bei einer Kontrolle von 100 Personen 3
> Personen kontrolliert, hat man mit 14,4% Wahrscheinlichkeit
> mindestens einen Schwarzfahrer dabei.
>
> Wenn ich das nun mit der Lösungsvariante vom AB mache
> (wobei ich anstelle 90% diese 14,4% nehme)
> 1-P("keinen Schwarzfahrer")>= 0,144
> 1- [mm]\left(95 \over 100\right)^n[/mm] >=0,144
> 0,856>= [mm]\left(95 \over 100\right)^n[/mm] |ln(...)
> ln(0,856)>=n [mm]ln\left(95 \over 100\right)[/mm]
> n >=3.03
> Der Schaffner muss mindestens 3.03 Personen kontrollieren,
> um mindestens einen Schwarzfahrer zu ertappen.
Dann solltest du doch auf ganze Zahlen "aufstocken", also hier auf [mm] n\ge4
[/mm]
>
> Bei der geringen Anzahl von Personen ist es noch annähernd
> korrekt. Allerdings stimmt es bei n=45 nicht mehr.
> Beim Urnenmodell mit zurücklegen:
> wenn man bei einer Kontrolle von 100 Personen 45 Personen
> kontrolliert, hat man mit 95,38% Wahrscheinlichkeit
> mindestens einen Schwarzfahrer dabei.
> Bei der anderen Variante hat man bei einer Kontrolle von
> 45Personen eine Wahrscheinlichkeit von 90%.
>
> Ich weiß, dass mein Denkfehler beim Urnenmodell OHNE
> zurücklegen liegt. Aber wieso?
Dazu siehe die Passage oben.
Du hast die Ungleichung [mm] 1-\left(1-0,05\right)^{n}\le0,9 [/mm] zu lösen, das führt zu [mm] n\ge45 [/mm] Kontrollen.
Denn
[mm] 1-\left(1-0,05\right)^{n}\le0,9
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-0,95^{n}\le-0,1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow0,95^{n}\ge0,1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow n\ge\log_{0,95}(0,1)
[/mm]
Also [mm] n\ge44,89 [/mm] und das bedeutet, dass du auf mindestens 45 Kontrollen aufstocken musst.
Marius
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In meinem Mathebuch habe ich folgendes gefunden - deswegen bin ich auch so verwirrt:
Zufallsexperiment:
Von 30 Monitoren einer Sendung sind 3 defekt. Zwei Monitore dieser Sendung werden entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Monitore defekt?
Urnenmodell:
Urne mit 30 Kugeln, 27 weiße und 3 schwarze Kugeln. Zweimal ziehen ohne zurücklegen. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: 0.0069
Dieses Beispiel habe ich auf die Schwarzfahrer übertragen - warum war das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 03.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In meinem Mathebuch habe ich folgendes gefunden - deswegen
> bin ich auch so verwirrt:
> Zufallsexperiment:
> Von 30 Monitoren einer Sendung sind 3 defekt. Zwei
> Monitore dieser Sendung werden entnommen. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit sind beide Monitore defekt?
> Urnenmodell:
> Urne mit 30 Kugeln, 27 weiße und 3 schwarze Kugeln.
> Zweimal ziehen ohne zurücklegen. Gesuchte
> Wahrscheinlichkeit: 0.0069
Hier sind drei der 30 Monitore defekt, das bedeutet, es sind in der Tat eben diese drei Defekten Monitore in der Sendung.
>
> Dieses Beispiel habe ich auf die Schwarzfahrer übertragen
> - warum war das falsch?
Weil die Schwarzfahrer unanbängig voneinander schwarzfahren.
Marius
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