Minima und Maxima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 24.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die kritischen Punkte und die lokalen und globalen Minima und Maxima:
1) f(x,y)=sin(x+y)
2) [mm] f(x,y)=sin(x^2+y^2) [/mm] |
Hallo Mathe-Forum,
Ich soll die die Maxima und Minima bestimmen, komme jedoch an einem gewissen Punkt nicht mehr weiter.
1. Schritt Jakoby-Matrix der Funktion bilden und gleich null setzen um den kritischen Punkt herauszufinden
2. Schritt die Hesse-Matrix der Funktion bilden, den kritischen Punkt einsetzen und die Determinante der Hesse Matrix bilden um herauszufinden um welches Extrema es sich handelt.
Das folgende habe ich zur Funktion 1) f(x,y)=sin(x+y):
Jakoby-Matrix: [mm] (Df\vektor{x \\ y})=(cos(x+y),cos(x+y))=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] cos(x+y)=0 [mm] \Rightarrow x+y=\bruch{\pi}{2} \Rightarrow y=\bruch{\pi}{2}-x
[/mm]
Da es sich hier um eine Periodische-Funktion handelt würden auch die Vielfache ein kritischer "Punkt" sein, also [mm] cos(\bruch{\pi}{2}*k)=0 [/mm] mit [mm] k\in [/mm] ungrade [mm] \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\bruch{\pi}{2}*k-x
[/mm]
Hesse Matrix der Funktion f(x,y):
[mm] Hess_{f}\vektor{x \\ y}=\pmat{ -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(x+y) }
[/mm]
Jetzt ist mein Problem: Wie beweise ich mit der Hesse-Matrix, dass es sich bei der Geraden [mm] y=y=\bruch{\pi}{2}*k-x [/mm] um ein Maximum oder ein Minimum handelt?
Zur zweiten Funktion 2) [mm] f(x,y)=sin(x^2+y^2) [/mm] habe ich folgendes:
[mm] \Rightarrow x^2+y^2=r^2 \Rightarrow f(x,y)=sin(r^2)
[/mm]
[mm] (Df\vektor{x \\ y})=(2x*cos(x^2+y^2),2y*cos(x^2+y^2))=0
[/mm]
Bin ich bei den beiden Aufgaben auf dem richtigen Weg?
Und wie beweise ich, dass diese Gerade ein Maximum oder Minimum ist?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 So 24.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie die kritischen Punkte und die lokalen und
> globalen Minima und Maxima:
> 1) f(x,y)=sin(x+y)
> 2) [mm]f(x,y)=sin(x^2+y^2)[/mm]
> Hallo Mathe-Forum,
> Ich soll die die Maxima und Minima bestimmen, komme jedoch
> an einem gewissen Punkt nicht mehr weiter.
> 1. Schritt Jakoby-Matrix der Funktion bilden und gleich
> null setzen um den kritischen Punkt herauszufinden
> 2. Schritt die Hesse-Matrix der Funktion bilden, den
> kritischen Punkt einsetzen und die Determinante der Hesse
> Matrix bilden um herauszufinden um welches Extrema es sich
> handelt.
>
> Das folgende habe ich zur Funktion 1) f(x,y)=sin(x+y):
> Jakoby-Matrix: [mm](Df\vektor{x \\ y})=(cos(x+y),cos(x+y))=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] cos(x+y)=0 [mm]\Rightarrow x+y=\bruch{\pi}{2} \Rightarrow y=\bruch{\pi}{2}-x[/mm]
>
> Da es sich hier um eine Periodische-Funktion handelt
> würden auch die Vielfache ein kritischer "Punkt" sein,
> also [mm]cos(\bruch{\pi}{2}*k)=0[/mm] mit [mm]k\in[/mm] ungrade [mm]\IZ[/mm]
> [mm]\Rightarrow y=\bruch{\pi}{2}*k-x[/mm]
>
> Hesse Matrix der Funktion f(x,y):
> [mm]Hess_{f}\vektor{x \\ y}=\pmat{ -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(x+y) }[/mm]
>
> Jetzt ist mein Problem: Wie beweise ich mit der
> Hesse-Matrix, dass es sich bei der Geraden
> [mm]y=y=\bruch{\pi}{2}*k-x[/mm] um ein Maximum oder ein Minimum
> handelt?
>
Die Determinante der Hesse-matrix ist ja offenbar unabhängig von x un dy immer Null, daher nicht positiv und daher existieren keine lokalen maxima und Minima. Deine Fläche ist ja ein Zylinder, dessen Basiskurve ein Sinus ist. Alle "Hochpunkte" liegen auf einer Geraden und für keinen dieser Punkte gilt, dass er in seiner Umgebung der höchste ist, denn es gibt ja in jeder noch so kleinen Umgebung immer gleich hohe Punkte - also kein lokales Maximum.
EDIT: Und diese obige Aussage ist so falsch - siehe dazu die Abtwort von Fred.
> Zur zweiten Funktion 2) [mm]f(x,y)=sin(x^2+y^2)[/mm] habe ich
> folgendes:
> [mm]\Rightarrow x^2+y^2=r^2 \Rightarrow f(x,y)=sin(r^2)[/mm]
>
> [mm](Df\vektor{x \\ y})=(2x*cos(x^2+y^2),2y*cos(x^2+y^2))=0[/mm]
>
> Bin ich bei den beiden Aufgaben auf dem richtigen Weg?
Deine ersten partiellen Ableitungen stimmen jedenfalls.
> Und wie beweise ich, dass diese Gerade ein Maximum oder
> Minimum ist?
?? Welche Gerade??
Du hast zwei Ausdrücke in x und y die gleichzeitig Null sein sollen. Also musst du dieses Gleichungssystem lösen.
Du hast dann noch die zweiten partiellen Ableitungen und die Hesse Matrix aufzustellen.
Allerdings wird sich auch hier wieder eine ähnliche Situation zeigen wie beim ersten Beispiel, nur das hier bis auf eine Ausnahme höchsten und tiefsten Stellen auf Kreisen liegen.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 24.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für deine Antwort!
Also zur ersten Funktion f(x,y)=sin(x+y) wäre ich im Prinzip fertig, wenn ich noch zeige, dass die det(Hessf)=0 ist. Die Zeilen/Spalten wären sowieso linear abhängig, was dazu führen würde das die Determinante gleich null wäre.
Aber angenommen, man hätte keine Skizze dieser Ebene oder des Körpers, woher sollte ich dann wissen, dass die Gerade alle Hochpunkte beinhaltet und nicht Tiefpunkte?
Zur zweiten Funktion habe ich nun:
I) [mm] 2x*cos(x^2+y^2)=0 \Rightarrow 2x(x^2+y^2)=1/2\pi \Rightarrow 2x(r^2)=(1/2)*\pi \Rightarrow x=\bruch{pi}{4*r^2} [/mm] mit [mm] r^2=(x^2+y^2)
[/mm]
[mm] Hess_{f}\vektor{x \\ y}=\pmat{ 2*cos(x^2+y^2)-4x^2*sin(x^2+y^2) & -4xy*sin(x^2+y^2) \\ -4xy*sin(x^2+y^2) & 2*cos(x^2+y^2)-4y^2*sin(x^2+y^2) }
[/mm]
Ist der Ansatz richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 24.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Danke für deine Antwort!
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> Also zur ersten Funktion f(x,y)=sin(x+y) wäre ich im
> Prinzip fertig, wenn ich noch zeige, dass die det(Hessf)=0
> ist. Die Zeilen/Spalten wären sowieso linear abhängig,
> was dazu führen würde das die Determinante gleich null
> wäre.
> Aber angenommen, man hätte keine Skizze dieser Ebene oder
> des Körpers, woher sollte ich dann wissen, dass die Gerade
> alle Hochpunkte beinhaltet und nicht Tiefpunkte?
Ich denke hier reicht doch die Aussage, dass es keine lokalen Extrema gibt?
EDIT: Auch hier wieder:falsch. Siehe die Antwort von fred97.
Außerdem weißt du doch, für welche ungeradzahligen Vielfachen von [mm] \pi/2 [/mm] der Sinus +1 und für welche er -1 ist, oder?
> Zur zweiten Funktion habe ich nun:
> I) [mm]2x*cos(x^2+y^2)=0 \Rightarrow 2x(x^2+y^2)=1/2\pi \[/mm]
Falsch! Du hast ein Produkt aus 2x und dem Kosinus und dieses Produkt soll Null sein. Welche Möglichkeiten gibt es da?
> [mm]Hess_{f}\vektor{x \\ y}=\pmat{ 2*cos(x^2+y^2)-4x^2*sin(x^2+y^2) & -4xy*sin(x^2+y^2) \\ -4xy*sin(x^2+y^2) & 2*cos(x^2+y^2)-4y^2*sin(x^2+y^2) }[/mm]
>
> Ist der Ansatz richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 24.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
> Ich denke hier reicht doch die Aussage, dass es keine
> lokalen Extrema gibt?
> Außerdem weißt du doch, für welche ungeradzahligen
> Vielfachen von [mm]\pi/2[/mm] der Sinus +1 und für welche er -1
> ist, oder?
Alles klar, dann habe ich es verstanden.
Du hast ein Produkt aus 2x und dem Kosinus und
> dieses Produkt soll Null sein. Welche Möglichkeiten gibt
> es da?
Entweder ist x=0 oder der [mm] cos(x^2+y^2)=0, [/mm] d.h. [mm] (x^2+y^2)=1/2*pi [/mm] und Vielfache, wären das dann die möglichen kritischen Punkte?
Mit freundlichen Grüßen.
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Hallo,
> Alles klar, dann habe ich es verstanden.
>
> Du hast ein Produkt aus 2x und dem Kosinus und
> > dieses Produkt soll Null sein. Welche Möglichkeiten gibt
> > es da?
> Entweder ist x=0 oder der [mm]cos(x^2+y^2)=0,[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d.h.
> [mm](x^2+y^2)=1/2*pi[/mm] und Vielfache,
Welche Vielfache genau? Doch nicht alle ...
Das musst du genauer sagen ...
> wären das dann die
> möglichen kritischen Punkte?
>
> Mit freundlichen Grüßen.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Mit der Antwort von rmix zu Aufgabe 1 bin ich nicht einverstanden.
Ist z.b. (u,v) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit [mm] u+v=\bruch{\pi}{2}, [/mm] so ist
f(u,v)=1 [mm] \ge [/mm] f(x,y) für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
f hat also in (u,v) ein globales Maximum.
Genauso sieht man: ist (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit [mm] a+b=\bruch{3*\pi}{2}, [/mm] so ist
f(a,b)=-1 [mm] \le [/mm] f(x,y) für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
f hat also in (a,b) ein globales Minimum.
Etc...., etc ..., etc ...
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mo 25.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Fred!
> Mit der Antwort von rmix zu Aufgabe 1 bin ich nicht
> einverstanden.
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Du hast natürlich Recht. Ein (lokales) Maximum ist erklärt als eine Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Gleich große Werte sind da ja erlaubt.
Gruß RMix
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