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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:25 So 13.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Zu einer Funktion f [mm] \in C^{1}[a,b] [/mm] und einer Zerlegung [mm] Z_{n} \subset [/mm] [a,b] sei [mm] s_{f}die [/mm] stückweise linear Interpolierende mit [mm] s_{f}(x_{i})=f(x_{i}), [/mm] i=0,1,...,n.
(a) Zeigen Sie die Minimaleigenschaft
[mm] ||s'_{f}||_{2} \le ||g'||_{2} [/mm] , für alle g [mm] \in C^{1}[a,b] [/mm] mit [mm] g(x_{i})=f(x_{i}),
[/mm]
i=0,1,...,n.
(b) Folgen Sie daraus die Ungleichung [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{h_{i}}(g(x_{i+1})-g(x_{i}))^{2} \le ||g'||^{2}.
[/mm]
Hinweis: Für Funktionen f [mm] \in [/mm] C[a,b] ist die sogenannte [mm] L_{2}-Norm ||.||_{2} [/mm] gegeben durch [mm] ||f||_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{a}^{b}{f(x)^{2} dx}}. [/mm] |
Hallo,
zu (a):
erste Frage: [mm] s_{f} [/mm] ist die stückweise linear Interpolierende.Daraus folgt, dass
[mm] s_{f}(x) \in [/mm] C[a,b]. Daraus folgt aber nicht , dass s'_{f} existiert, oder?
zweite Frage: In der Annahme , dass s'_{f} existiert, habe ich mit dem folgenden Ansatz versucht, (a) zu zeigen.
Es gilt [mm] ||g'||_{2}=||(g'-s'_{f})+s'_{f}||_{2}= \wurzel{\integral_{a}^{b}{((g'-s'_{f})+s'_{f})^{2}(x) dx}}=\wurzel{\integral_{a}^{b}{(g'-s'_{f})^{2}(x) dx}+2\integral_{a}^{b}{(g'-s'_{f})*s'_{f}(x) dx}+\integral_{a}^{b}{s'_{f}(x)^{2} dx}}.
[/mm]
Wenn man zeigt, dass [mm] \integral_{a}^{b}{(g'-s'_{f})*s'_{f}(x) dx}=0, [/mm] dann folgt daraus die Behauptung .
In der Uni habe ich gehört, dass man die partielle Integration verwenden soll.
Soll man als "u' " s'_{f} und als "v" (g'-s'_{f}) setzen ? Oder , wie soll man hier partielle Integration anwenden? (Was ist mit der Existenz von s''_{f}?)
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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