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| Aufgabe | Ein Quader mit quadratischer Grundfläche soll ein Volumen von [mm] 1000cm^3 [/mm] haben.
Bestimmen Sie die Seitenlängen a des Quaders so, dass sein Oberflächeninhalt minimal wird. Wie groß ist dieser minimale Oberflächeninhalt? |
Hallo zusammen,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, da ich Neueinsteiger bin.
Die Seitenlängem des Quaders sind a , a und h da die untere und die obere Fläche Quadrate sind.
Ich habe als Hauptbedingung die Formel für den Oberflächeninhalt 2 • a • a + 4 • a • h
und als Nebenbedingung 1000= a • a • h nach h umgestellt h= [mm] 1000/a^2
[/mm]
und das dann in die Formel für den Oberflächeninhalt eingegeben
[mm] 2a^2 [/mm] + 4a [mm] (1000/a^2)
[/mm]
Nun bin ich aber mit meinem Latein am Ende und brauche Hilfe wie ich weitermachen soll
bzw ob das überhaupt richtig ist.
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe bisher so weitergerechnet, dass ich
als Funktionsgleichung O(a)= [mm] 2a^2 [/mm] + 1000a^-2 raus habe.
Ableiten kann ich das auch O‘(a)= 4a - 2000^-3
Ich bin mir nur nicht sicher ob ich bis dahin alles richtig habe, oder komplett
auf dem Holzweg bin.
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Hallo,
> Ich habe bisher so weitergerechnet, dass ich
> als Funktionsgleichung O(a)= [mm]2a^2[/mm] + 1000a^-2 raus habe.
> Ableiten kann ich das auch O‘(a)= 4a - 2000^-3
> Ich bin mir nur nicht sicher ob ich bis dahin alles richtig
> habe, oder komplett
> auf dem Holzweg bin.
Weder noch.
Du hast in deiner Rechnung den Faktor 4a unterschlagen. Die Oberfläche ist [mm] $2a^2+4a*1000/a^2 [/mm] = [mm] 2a^2+4000/a$.
[/mm]
Davon abgesehen ist dein Ansatz ok.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 17.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Ein Quader mit quadratischer Grundfläche soll ein Volumen
> von [mm]1000cm^3[/mm] haben.
> Bestimmen Sie die Seitenlängen a des Quaders so, dass
> sein Oberflächeninhalt minimal wird. Wie groß ist dieser
> minimale Oberflächeninhalt?
> Hallo zusammen,
> ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, da ich
> Neueinsteiger bin.
> Die Seitenlängem des Quaders sind a , a und h da die
> untere und die obere Fläche Quadrate sind.
>
> Ich habe als Hauptbedingung die Formel für den
> Oberflächeninhalt 2 • a • a + 4 • a • h
>
> und als Nebenbedingung 1000= a • a • h nach h
> umgestellt h= [mm]1000/a^2[/mm]
>
> und das dann in die Formel für den Oberflächeninhalt
> eingegeben
>
> [mm]2a^2[/mm] + 4a [mm](1000/a^2)[/mm]
Bis hier ist alles O.K.
Der Oberflächeninhalt ist also (in Abhängigkeit von $a$):
$ [mm] f(a)=2a^2+\frac{4000}{a}$.
[/mm]
Gesucht ist nun der Wert von $a$, so dass der Graph von $f$ in $(a|f(a))$ einen Tiefpunkt hat.
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> Nun bin ich aber mit meinem Latein am Ende und brauche
> Hilfe wie ich weitermachen soll
> bzw ob das überhaupt richtig ist.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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D.h. Ableitungen bilden und Tiefpunkt berechnen?
Also: O(a)= [mm] 2a^2 [/mm] +4 a [mm] (1000/a^2)
[/mm]
= [mm] 2a^2 [/mm] + 4 a (1000a^-2)
= [mm] 2a^2 [/mm] + 4000a^-1
O‘(a) = 4a - 4000
Sry, bin neu in einem Abi Onlinekurs und grade wieder dabei mich einzuarbeiten.
Ich merke schon das wenn ich nach a Auflösen würde, der negative Wert ziemlich groß wäre.
Wo liegt mein Fehler, bzw. wie würde ich weiter vorgehen müssen.
Gerne die Komplettlösung, falls jemand Zeit und Muße dafür hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 17.02.2022 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Fehler [mm] (x^{-1)})'=-1*x^{-2}
[/mm]
d. h, deine Ableitung ist falsch
richtig [mm] O'=4a-4000/a^2
[/mm]
Ergebnis : es ist ein Würfel
leduart
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