Minimaler Umfang < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte eine Fläche von [mm] 2m^{2} [/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie groß ist der Umfang?
Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y. |
Hallo,
ich bin mir gerade nicht sicher ob mein Vorgehen stimmt. Aus diesem Grund wollte ich hier mal bitte nachfragen ob mein Rechenweg nachvollziehbar ist.
Über eure Hilfe wäre ich dankbar.
Hauptbedingung:
[mm] U=2r+2y+\pi*r
[/mm]
Nebenbedingung:
[mm] A=2r*y+\pi*r^{2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4}
[/mm]
[mm] U=2r+2(\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4})+\pi*r=\bruch{1}{2}\pi*r+2r+\bruch{A}{r}
[/mm]
[mm] U'=\bruch{1}{2}\pi+2-\bruch{A}{r^{2}}
[/mm]
U'=0
[mm] r_{1,2}=(+/-)0,74
[/mm]
[mm] U''=2*\bruch{A}{r^{3}}
[/mm]
Und jetzt würde ja nur noch folgen y ausrechnen und dann den Umfang berechnen....
Wäre das soweit richtig?
Vielen Dank schon einmal
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Fr 20.06.2014 | | Autor: | wauwau |
Die Umformung für y ist nicht richtig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ice-Man!
> Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte
> eine Fläche von [mm]2m^{2}[/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie
> groß ist der Umfang?
>
> Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die
> Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y.
>
> Hallo,
>
> ich bin mir gerade nicht sicher ob mein Vorgehen stimmt.
> Aus diesem Grund wollte ich hier mal bitte nachfragen ob
> mein Rechenweg nachvollziehbar ist.
> Über eure Hilfe wäre ich dankbar.
>
> Hauptbedingung:
>
> [mm]U=2r+2y+\pi*r[/mm]
>
> Nebenbedingung:
>
> [mm]A=2r*y+\pi*r^{2}[/mm]
Da addierst du einen ganzen Kreis. Es ist aber ein Halbkreis. Ist bestimmt nur ein Tippfehler, weil das hier
> [mm]y=\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4}[/mm]
stimmt.
> [mm]U=2r+2(\bruch{A}{2r}-\bruch{\pi*r}{4})+\pi*r=\bruch{1}{2}\pi*r+2r+\bruch{A}{r}[/mm]
>
> [mm]U'=\bruch{1}{2}\pi+2-\bruch{A}{r^{2}}[/mm]
>
> U'=0
>
> [mm]r_{1,2}=(+/-)0,74[/mm]
Alles richtig (sind beide Lösungen sinnvoll?)
> [mm]U''=2*\bruch{A}{r^{3}}[/mm]
Ja, aber das brauchst du eigentlich nicht...
EDIT: Das kannst du schon brauchen. Mit der zweiten Ableitung kannst du bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.
> Und jetzt würde ja nur noch folgen y ausrechnen und dann
> den Umfang berechnen....
> Wäre das soweit richtig?
Genau! Du kennst schon r, jetzt musst du noch y ausrechnen und damit den minimalen Umfang bestimmen.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:16 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Danke für eure Hilfe. Trotzdem bin ich ein wenig verwirrt. Es heist unter anderem das die Umformung für y nicht richtig ist.Und dann heist es aberdoc das mein Vorgehen stimmt.
Was ist denn nun ok?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Sa 21.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
Für die Fläche (Nebenbedingung) hast du angegeben:
$ [mm] A=2r\cdot{}y+\pi\cdot{}r^{2} [/mm] $
Da es ein Rechteck plus Halbkreis ist müsste es
$ [mm] A=2r\cdot{}y+\bruch{1}{2}*\pi\cdot{}r^{2} [/mm] $
heißen.
Bei der Umformung nach y taucht das fehlende [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] bei
dir wieder auf.
Also hattest du wahrscheinlich das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] beim Abtippen nur
vergessen, aber damit gerechnet. So war dein $y = [mm] \ldots$ [/mm] richtig.
Sah man aber nur deine angegebenen Formel für A,
schien die Umformung nach y fehlerhaft.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
> Ein Fenster aus einem Rechteck und einem Halbkreis sollte
> eine Fläche von [mm]2m^{2}[/mm] bei minimalen Umfang besitzen. Wie
> groß ist der Umfang?
>
> Die waagerechte Seite des "Rechtecks" besitzt die
> Bezeichnung 2r und die längliche Seite die Bezeichnung y.
>
> .......
> .......
>
> Hauptbedingung:
>
> [mm]U=2r+2y+\pi*r[/mm]
>
> Nebenbedingung:
>
> [mm]A=2r*y+\pi*r^{2}[/mm]
> .......
> .......
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe möchte ich mal meine Ansicht zum
Begriff "Hauptbedingung" loswerden, der in derartigen
Extremwertaufgaben von so vielen Leuten in einer
meiner Meinung nach inhaltlich nicht wirklich passenden
Weise verwendet wird.
Der Irrtum kommt vermutlich daher, dass sich manche
Leute eine "Nebenbedingung" ohne eine "Hauptbedingung"
nicht vorstellen können, so wie es etwas "Nebensächliches"
nur neben einer "Hauptsache" geben kann.
Es scheint mir sprachlich und mathematisch gesehen
wesentlich besser, mit dem Begriff "Zielfunktion" umzu-
gehen, wie es beispielsweise in diesem Text gehandhabt
wird:
![[]](/images/popup.gif) Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung
Auf den Begriff "Hauptbedingung" kann man also schlicht
verzichten - und damit den Hauptinhalt einer Extremalaufgabe
dieser Art besser verständlich rüberbringen !
Wenn schon von einer "Hauptbedingung" die Rede sein
soll, dann würde ich diese etwa in der vorliegenden
Aufgabe mit dem Fenster so formulieren:
HB: Wir möchten, dass der Wert der Zielfunktion,
also hier der Umfang des Fensters (bzw. der Figur
aus dem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis)
minimal wird.
Diese "Hauptbedingung" wäre also keine Gleichung, sondern
eine Extremalitäts-Forderung.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
|
