Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Mikke |
Heyho zusammen!
hab ein paar probleme bei einer aufgabe mit dem minimalpolynom.
sollen das charakteristische polynom, eigenwerte und minimalpolynom für verschiedene matrizen bestimmen.
Die ersten beiden sachen sind kein problem aber wie komme ich auf das minimalpolynom.kann mir das vielleicht mal einer/eine beispeilhaft vorrechnen?
also A= [mm] \pmat{ 3 & 2 & 1& 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 2 }
[/mm]
das charakteristische polynom ist nach meiner rechnung
[mm] \lambda^{4} [/mm] - 11 [mm] \lambda^{3}+29 \lambda^{2}+15 \lambda-90
[/mm]
und die eigenwerte sind dann [mm] \lambda=3, \lambda=3, [/mm]
[mm] \lambda=2,5+ \wurzel{16,25} [/mm] , [mm] \lambda=2,5- \wurzel{16,25}.
[/mm]
Nur wie komme ich jetzt auf das minimalpolynom?
naja wie gesagt wäre echt nett wenn mir das hier mal einer/e beispielhaft vorrechnen könnte. dankeschön. mfg mikke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin,
habe gerade keine Zeit zu einer ausführlichen Antwort, oder zur Überprüfung deiner Werte, hätte aber einen Anstoß zur Berechnung des Minimalpolynoms. Das ist meist eine etwas nervige Angelegenheit. Du weißt, dass dein Minimalpolynom irgendsoeine Form [mm] \summe_{k=0}^na_nx^n [/mm] hat und dass das minpol. eingesetzt null ergibt. Also "probierst" du aus, indem du erst mal die ersten Potenzen deines Polynoms ausrechnest und dir anschaust, wie du die - mit Körperelementen multipliziert - voneinander subtrahieren/addieren kannst, so dass es null ergibt. Dann kannst du immer noch schauen, ob das ding das kleinstmögliche Polynom mit dieser Eigenschaft ist.
Ich weiß, ist nicht besonders elegant, sollte aber zum Ziel führen,
Gruß
San
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Heyho zusammen!
> hab ein paar probleme bei einer aufgabe mit dem
> minimalpolynom.
> sollen das charakteristische polynom, eigenwerte und
> minimalpolynom für verschiedene matrizen bestimmen.
> Die ersten beiden sachen sind kein problem aber wie komme
> ich auf das minimalpolynom.kann mir das vielleicht mal
> einer/eine beispeilhaft vorrechnen?
> also A= [mm]\pmat{ 3 & 2 & 1& 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 2 }[/mm]
>
> das charakteristische polynom ist nach meiner rechnung
> [mm]\lambda^{4}[/mm] - 11 [mm]\lambda^{3}+29 \lambda^{2}+15 \lambda-90[/mm]
>
> und die eigenwerte sind dann [mm]\lambda=3, \lambda=3,[/mm]
> [mm]\lambda=2,5+ \wurzel{16,25}[/mm] , [mm]\lambda=2,5- \wurzel{16,25}.[/mm]
>
> Nur wie komme ich jetzt auf das minimalpolynom?
> naja wie gesagt wäre echt nett wenn mir das hier mal
> einer/e beispielhaft vorrechnen könnte. dankeschön. mfg
> mikke
Bei Minimalpolynomen von Matrizen geht es wesentlich einfacher als bei Minimalpolynomen von algebraischen Elementen (das was San beschrieben hat). Man weiss naemlich, dass charakteristisches Polynom und Minimalpolynom die gleichen Linearfaktoren haben -- nur eventuell mit anderen Vielfachheiten.
Das Minimalpolynom ist hier also entweder [mm] $f_1 [/mm] := [mm] (\lambda [/mm] - 2.5 - [mm] \sqrt{16.25}) (\lambda [/mm] - 2.5 + [mm] \sqrt{16.25}) (\lambda [/mm] - 3)$ oder [mm] $f_2 [/mm] := [mm] (\lambda [/mm] - 2.5 - [mm] \sqrt{16.25}) (\lambda [/mm] - 2.5 + [mm] \sqrt{16.25}) (\lambda [/mm] - [mm] 3)^2$ [/mm] (also gleich dem charakteristischen Polynom).
Du musst jetzt nur die Matrix in [mm] $f_1$ [/mm] einsetzen: Wenn $0$ herauskommt, ist [mm] $f_1$ [/mm] das charakteristische Polynom. Wenn nicht $0$ herauskommt, fehlt ein Linearfaktor; der einzige, der noch hinzukommen kann, ist [mm] $\lambda [/mm] - 3$ (da dieser beim char. Poly. die Vielfachheit 2 hat und der Rest Vielfachheit 1 hat), und da [mm] $f_2$ [/mm] schon das charakteristische Polynom ist (und man somit weiss das [mm] $f_2(A) [/mm] = 0$ ist), womit [mm] $f_2$ [/mm] dann auch das Minimalpolynom ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Mikke |
hey danke shcon mal...
aber wie kann ich dann zeigen dass [mm] f_{2} [/mm] wirklich das minimalpolynom ist und es nicht noch ein minimaleres gibt?
wie kann ich zum beispiel zeigen dasss [mm] f_{2} [/mm] irreduzibel ist?
gruß mikke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mikke!
> hey danke shcon mal...
> aber wie kann ich dann zeigen dass [mm]f_{2}[/mm] wirklich das
> minimalpolynom ist und es nicht noch ein minimaleres gibt?
Lies dir doch nochmal durch was ich geschrieben hab. Mit welchem Teil der Argumentation, dass entweder [mm] $f_1$ [/mm] (falls [mm] $f_1(A) [/mm] = 0$) oder [mm] $f_2$ [/mm] (falls [mm] $f_1(A) \neq [/mm] 0$) das Minimalpolynom ist, hast du Probleme?
> wie kann ich zum beispiel zeigen dasss [mm]f_{2}[/mm] irreduzibel
> ist?
Seit wann muessen Minimalpolynome von Matrizen irreduzibel sein?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Mikke |
so bin alles nochmal durchgegangen und ist auch alles klar...
wenn ich jetzt wissen will ob die matrix A diagonalisierbar ist, wie kann ich das direkt aus dem minimalpolynom ableiten?
ist A diagonalisierbar genau dann wenn das Minimalpolynom gleich dem char.pollynom in der linearfaktorzerlegung ist?und wenn es da nicht wäre wäre A dann auch nicht diagonalisierbar?
gruß mikke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mikke!
> so bin alles nochmal durchgegangen und ist auch alles
> klar...
Ok.
> wenn ich jetzt wissen will ob die matrix A
> diagonalisierbar ist, wie kann ich das direkt aus dem
> minimalpolynom ableiten?
Es gibt da ein Kriterium: Eine Matrix $A$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfaellt, die alle Vielfachheit 1 haben.
Wenn also [mm] $f_3$ [/mm] das MiPo ist, dann ist $A$ diagonalisierbar, ansonsten nicht.
> ist A diagonalisierbar genau dann wenn das Minimalpolynom
> gleich dem char.pollynom in der linearfaktorzerlegung
> ist?und wenn es da nicht wäre wäre A dann auch nicht
> diagonalisierbar?
Wenn du das Minimalpolynom nicht in Linearfaktoren zerlegen kannst, kannst du das auch insbesondere nicht mit dem charakteristischen Polynom machen, womit die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Di 02.05.2006 | | Autor: | Mikke |
also in unserem fall ist dann die matrix nicht diagonalisierbar, wenn
[mm] f_{2} [/mm] das minimalpolynom ist und umgekehrt wenn es [mm] f_{1} [/mm] ist schon, richtig?
oder hab ich was falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also in unserem fall ist dann die matrix nicht
> diagonalisierbar, wenn
> [mm]f_{2}[/mm] das minimalpolynom ist und umgekehrt wenn es
> [mm]f_{1}[/mm] ist schon, richtig?
Genau!
LG Felix
|
|
|
|
