Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 24.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo
Angenommen, ich habe eine 5x5 Matrix A gegeben, dessen charakteristischen Polynom die Form
P(t) = - [mm] (t-2)^2(t-1)^3 [/mm] hat
Wie berechne ich jetzt am Besten das Minimalpolynom?
Muss ich jetzt echt alles durchrechnen, also
[mm] (A-2E)^1 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-2E)^2 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-E)^1 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-E)^2 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-E)^3 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-2E)^1 *(A-E)^1 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-2E)^1 *(A-E)^2 [/mm] = 0 ?
[mm] (A-2E)^1 *(A-E)^3 [/mm] = 0 ?
Ist das wirklich so rechenaufwändig?
Die Matrix A war übrigens
$A = [mm] \pmat{ 0&1&1&0&-2 \\ 1&-1&1&0&-1\\ 1&0&0&0&-1 \\ 1&0&1&0&-2 \\ 1&0&1&0&-2 }$
[/mm]
Ich danke euch schon mal
kowi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Jeder Linearfaktor des charakteristischen Polynoms kommt auch im Minimalpolynom vor. Also genügt es die folgenden Polynome zu betrachten:
(t-2)(t-1)
[mm] (t-2)(t-1)^2
[/mm]
[mm] (t-2)(t-1)^3
[/mm]
und falls keins von denen A annuliert, ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 24.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo pelzig. Danke für deine Antwort
> Jeder Linearfaktor des charakteristischen Polynoms kommt
> auch im Minimalpolynom vor.
Ok, wenn das gilt, warum dann nur
> Also genügt es die folgenden
> Polynome zu betrachten:
>
> (t-2)(t-1)
> [mm](t-2)(t-1)^2[/mm]
> [mm](t-2)(t-1)^3[/mm]
Es war doch gerade P(t) = - $ [mm] (t-2)^2(t-1)^3 [/mm] $
(falls das Minimalpolynom bereits gefunden) Dann muss ich also auch noch die Fälle
[mm] $(t-2)^2(t-1)$
[/mm]
[mm] $(t-2)^2(t-1)^2$
[/mm]
[mm] $(t-2)^2(t-1)^3$
[/mm]
überprüfen, oder? Oder weswegen fallen die weg?
> und falls keins von denen A annuliert, ist das
> Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom.
Guter Hinweis, thanks
Liebe Grüße
kowi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Dann muss ich also auch noch die Fälle
> [mm](t-2)^2(t-1)[/mm]
> [mm](t-2)^2(t-1)^2[/mm]
> [mm](t-2)^2(t-1)^3[/mm]
>
> überprüfen, oder? Oder weswegen fallen die weg?
Stimmt... hab ich vergessen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Di 24.03.2009 | | Autor: | kowi |
> > Dann muss ich also auch noch die Fälle
> > [mm](t-2)^2(t-1)[/mm]
> > [mm](t-2)^2(t-1)^2[/mm]
> > [mm](t-2)^2(t-1)^3[/mm]
> >
> > überprüfen, oder? Oder weswegen fallen die weg?
> Stimmt... hab ich vergessen.
Macht nichts, die vorangegangene Erklärung war ja schon klasse. Vielen Dank, pelzig!
Liebe Grüße
kowi
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