Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $K=\IF_3$, $L=\IF_3[x]/\langle x^3-x+1\rangle$ [/mm] und [mm] $a=\overline{x}^2+\overline{x}+1\in [/mm] L$.
Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $a$ über $K$. |
ich hab jetzt alle reduziblen und irreduziblen Polynome bis Grad 3 rausgeschrieben.
In meiner Lösung steht jetzt
[mm] $a^0=1$
[/mm]
[mm] $a^1=\overline{x}^2+\overline{x}+1$
[/mm]
[mm] $a^2=\overline{x}^2+2$
[/mm]
[mm] $a^3=\overline{x}+2\overline{x}+1
[/mm]
Das sind meine Nullstellen vom Grad2
Aber wie komme ich darauf?
Wie es weiter geht weiß ich. Ich rechne den Kern von [mm] \vektor{a^0 \\ a^1 \\a^2\\a^3} [/mm] aus und stelle mein Minimalpolynom zusammen. Aber warum [mm] a^n [/mm] genau dass ist, was es ist versteh ich nicht.
Kann mir da jemand helfen?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei [mm]K=\IF_3[/mm], [mm]L=\IF_3[x]/\langle x^3-x+1\rangle[/mm] und
> [mm]a=\overline{x}^2+\overline{x}+1\in L[/mm].
> Bestimmen Sie das
> Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]K[/mm].
> ich hab jetzt alle reduziblen und irreduziblen Polynome
> bis Grad 3 rausgeschrieben.
>
> In meiner Lösung steht jetzt
>
> [mm]a^0=1[/mm]
> [mm]a^1=\overline{x}^2+\overline{x}+1[/mm]
> [mm]a^2=\overline{x}^2+2[/mm]
> [mm]$a^3=\overline{x}+2\overline{x}+1[/mm]
Richtig ist: [mm]$a^3=\overline{x}^2+2\overline{x}+1[/mm]
> Das sind meine Nullstellen vom Grad2
Das sind die ersten Potenzen von a.
> Aber wie komme ich darauf?
Indem du sie ausrechnest und [mm] \overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] - 1 benutzt.
> Wie es weiter geht weiß ich. Ich rechne den Kern von
> [mm]\vektor{a^0 \\ a^1 \\a^2\\a^3}[/mm] aus und stelle mein
> Minimalpolynom zusammen. Aber warum [mm]a^n[/mm] genau dass ist, was
> es ist versteh ich nicht.
>
Da der Körper L vom Grad 3 ist, muß es eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen von a geben. Damit findest du ein Polynom mit der Nullstelle a. Ob das das Minimalpol. ist, prüfst du anschließend.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:08 Mo 21.02.2011 | | Autor: | dr_geissler |
Ich hab es gerade versucht, aber ich komme tritzdem nicht drauf. Kann man mir mal eins vorrechnen?
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Was genau vorrechnen?
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[mm] a^2 [/mm] zum Beispiel.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Na dann mal los:
Es ist [mm] \overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] - 1
und [mm] \overline{x}^4 [/mm] = [mm] \overline{x}\*\overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x}
[/mm]
und somit
[mm] a^2 [/mm] = [mm] \overline{x}^4 [/mm] + [mm] \overline{x}^2 [/mm] + 1 + [mm] 2\*\overline{x}^3 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x}^2 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x}
[/mm]
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{x} [/mm] - 1 + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] + 2
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] + 1
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x} [/mm] + 1 + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] - 2 + [mm] 2\*\overline{x}
[/mm]
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - 1 = [mm] \overline{x}^2 [/mm] + 2
Wo ist das Problem?
Gruß
Dieter
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Hier mal meine Rechnung:
[mm] $a^2=(\overline{x}^2+\overline{x}+1)*(\overline{x}^2+\overline{x}+1)$
[/mm]
[mm] $=(\overline{x}^4+2*\overline{x}^3+2*\overline{x}+1$
[/mm]
Also soweit ist noch alles gleich.
Aber jetzt:
[mm] $=\overline{x}^2-\overline{x}+2*\overline{x}-2+2*\overline{x}+1$
[/mm]
[mm] $=\overline{x}^2+2$
[/mm]
Was ist denn nun richtig??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
> Hier mal meine Rechnung:
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> [mm]a^2=(\overline{x}^2+\overline{x}+1)*(\overline{x}^2+\overline{x}+1)[/mm]
> [mm]=(\overline{x}^4+2*\overline{x}^3+2*\overline{x}+1[/mm]
>
> Also soweit ist noch alles gleich.
> Aber jetzt:
>
> [mm]=\overline{x}^2-\overline{x}+2*\overline{x}-2+2*\overline{x}+1[/mm]
> [mm]=\overline{x}^2+2[/mm]
>
> Was ist denn nun richtig??
Deins, s. o. Ich hatte mich in der Zeile verheddert, sorry. Aber dann kannst du es doch, also ist das Problem wech.
Gruß
Dieter
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Genau. Vielen Dank nochmal.
Und schöne Grüsse nach Hamburg.
Darf man zur Wahl gratulieren, oder eher nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
> Darf man zur Wahl gratulieren, oder eher nicht?
Ich bin da relativ wertfrei. Aber es interessiert mich schon, wie der Olaf mit der Elbphilharmonie verfahren will. Und ob er seinen eigenen Hühnerhaufen zusammenhalten kann.
Es bleibt interessant.
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