Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Minimalpolynom von [mm] \wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\wurzel[3]{3}} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] |
Hallo
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Minimalpolynom bedeutet kleinstes,normiertes Polynom, als eben die angegebene Nullstell hat.
Ich habe mir überlegt, dass [mm] [\IQ(\wurzel[3]{3}):\IQ]=3 [/mm] und daher Minimalpolynom hat Grad 3
Nur irgendwie komm ich nicht so recht auf das Minimalpolynom
Ich setze [mm] a:=\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}
[/mm]
Und [mm] a^2=(\wurzel[3]{3})^2-2+\bruch{1}{(\wurzel[3]{3})^2)}
[/mm]
Und [mm] a^3=3-\wurzel[3]{3}-2*\wurzel[3]{3}+\bruch{3}{\wurzel[3]{3}}-\bruch{1}{(\wurzel[3]{3})^2}
[/mm]
Normalerweise bekommt man beim Potenzieren einen Ausdruck über [mm] \IQ [/mm] oder man kann [mm] a^3 [/mm] in Abhängigkeit von a schreiben und der Rest sind ganze Zahlen, nur hier komme ich nicht weiter.
Ich brauche Hilfe
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozzmismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> [mm]\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
Ich schreibe mal [mm] k=\wurzel[3]{3}, \alpha=k-\frac{1}{k}.
[/mm]
Wenn du die Potenzen von [mm] \alpha [/mm] ausrechnest, kannst du jeweils [mm] k^3=3 [/mm] ersetzen und wenn k im Nenner auftaucht den jeweiligen Bruch derart mit k erweitern, dass k nicht mehr im Nenner auftaucht.
Auf diese Weise lassen sich alle Potenzen von [mm] \alpha [/mm] als k Polynom vom Grad [mm] \le2 [/mm] schreiben.
Beispiel:
[mm] \alpha^2=k^2-2+\frac{1}{k^2}=k^2-2-\frac{k}{k^3}=k^2-2-\frac{k}{3}.
[/mm]
Wenn Du genügend viele Potenzen ausrechnest kannst du dann das Nullpolynom als rationale Linearkombination der [mm] \alpha- [/mm] Potenzen schreiben.
LG
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Hallo!
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Sich das k zu definieren macht es schon einfacher.
Nur kann man hier irgendeine Aussage treffen, wie hoch der Grad des Minimalpolynoms maximal sein kann?
Weil ich hab jetzt bis zur 4. Potenz gerechnet
[mm] \alpha =k-\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] (\alpha)^2=k^2-2+\bruch{k}{3}
[/mm]
[mm] (\alpha)^3=\bruch{8}{9}-3k+k^2
[/mm]
[mm] (\alpha)^4=9-\bruch{k}{9}-\bruch{88k^2}{27}
[/mm]
Bis zu welcher Potenz muss ich gehen?
Nun kann man alles in ein lineares Gleichungssystem schreiben können.
[mm] \vektor{9 \\ -\bruch{1}{9} \\ -\bruch{88}{27} }= a*\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{3} } +b*\vektor{ -2 \\ \bruch{1}{3} \\ 1 } +c*\vektor{\bruch{8}{9} \\ -3 \\1 }
[/mm]
Und ne Lösung existiert.
Kann mir einer helfen?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo!
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Sich das k zu
> definieren macht es schon einfacher.
>
> Nur kann man hier irgendeine Aussage treffen, wie hoch der
> Grad des Minimalpolynoms maximal sein kann?
> Weil ich hab jetzt bis zur 4. Potenz gerechnet
> [mm]\alpha =k-\bruch{1}{k}[/mm]
> [mm](\alpha)^2=k^2-2+\bruch{k}{3}[/mm]
> [mm](\alpha)^3=\bruch{8}{9}-3k+k^2[/mm]
Das Polynom in k stimmt ab hier schon nicht mehr.
> [mm](\alpha)^4=9-\bruch{k}{9}-\bruch{88k^2}{27}[/mm]
>
> Bis zu welcher Potenz muss ich gehen?
> Nun kann man alles in ein lineares Gleichungssystem
> schreiben können.
> [mm]\vektor{9 \\ -\bruch{1}{9} \\ -\bruch{88}{27} }= a*\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{3} } +b*\vektor{ -2 \\ \bruch{1}{3} \\ 1 } +c*\vektor{\bruch{8}{9} \\ -3 \\1 }[/mm]
>
> Und ne Lösung existiert.
>
> Kann mir einer helfen?
>
Bedenke, daß
[mm]\alpha =k-\bruch{1}{k}=k-\bruch{k^{2}}{k^{3}}=k-\bruch{k^{2}}{3}[/mm]
Zu berücksichtigen ist auch [mm]\left(\alpha\right)^{0}=1[/mm]
> Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Fr 16.12.2011 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du hast alles richtig gemacht; versuche also nur den Term etwas umzuformen. Vielleicht hilft Dir $\bruch{3}{(\wurzel[3]{3})^2}= (\sqrt[3]{3}})^{2}$.
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Hallo
Ok, ich habe jetzt den Term [mm] a^3 [/mm] etwas umgeformt
=> $ [mm] a^3=3-\wurzel[3]{3}-2\cdot{}\wurzel[3]{3}+\bruch{3}{\wurzel[3]{3}}-\bruch{1}{(\wurzel[3]{3})^2} [/mm] $ [mm] =3-3*\wurzel[3]{3}-(\wurzel[3]{3})^2*\bruch{2}{3}
[/mm]
Hier kommen nur Terme mit [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] und ihrer Potenz drin vor, aber ich seh grad nicht, wie mir das weiterhilft.
Wie kann ich [mm] a^3 [/mm] mit Hilfe von a darstellen? weil a ja nicht [mm] \wurzel[3]{3}, [/mm] sondern [mm] a=\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}
[/mm]
Ich hoffe, mir kann einer bei dieser Aufgabe helfen?
Und hab ich das richtig gezeigt, dass der Grad vom Minimalpolynom maximal 3 sein kann?
Vielen Dank für die Hilfe
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Fr 16.12.2011 | | Autor: | hippias |
Tit mir Leid, da war doch ein Rechenfehler:
[mm] $a^{3}= 3-3\sqrt[3]{3}+\frac{3}{\sqrt[3]{3}}- \underbrace{\frac{1}{3}}_{= (\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{3}}$. [/mm] Und nun geht es auch...
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Hallo!
Ok, also dann würde ich wie folgt vorgehen
$ [mm] a^{3}= 3-3\sqrt[3]{3}+\frac{3}{\sqrt[3]{3}}- \underbrace{\frac{1}{3}}_{= (\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{3}} [/mm] $
[mm] =>a^3=-3(-1\underbrace{+\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\sqrt[3]{3}}}_{=a}+\bruch{1}{3*(\sqrt[3]{3})^3})$
[/mm]
[mm] =>a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3})
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] (\wurzel[3]{3})^3=3 [/mm] schreibe, dann bekomme ich
[mm] a^3+3a-\bruch{8}{9}=0, [/mm] jedoch stört der letzte Bruchterm.
Aber wie kann ich [mm] a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3}) [/mm] weiter vereinfachen?
Irgendwie seh ich das grad nicht.
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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> Hallo!
> Ok, also dann würde ich wie folgt vorgehen
> [mm]a^{3}= 3-3\sqrt[3]{3}+\frac{3}{\sqrt[3]{3}}- \underbrace{\frac{1}{3}}_{= (\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{3}}[/mm]
>
> [mm]=>a^3=-3(-1\underbrace{+\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\sqrt[3]{3}}}_{=a}+\bruch{1}{3*(\sqrt[3]{3})^3})$[/mm]
>
> [mm]=>a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3})[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm](\wurzel[3]{3})^3=3[/mm] schreibe, dann bekomme
> ich
> [mm]a^3+3a-\bruch{8}{9}=0,[/mm] jedoch stört der letzte
> Bruchterm.
Warum soll der stören ? Grundkörper ist ja [mm] \IQ [/mm] !
Aber es stimmt trotzdem etwas nicht, denn die
gewünschte Zahl ist nicht Nullstelle.
> Aber wie kann ich
> [mm]a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3})[/mm] weiter
> vereinfachen?
>
> Irgendwie seh ich das grad nicht.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Ich bin so vorgegangen:
Sei [mm] k:=\sqrt[3]{3} [/mm] , also [mm] k^3=3 [/mm]
Ferner soll [mm] x=k-\frac{1}{k} [/mm] sein.
Dies führt auf eine quadratische Gleichung für k.
Eine der Lösungen davon ist
[mm] k=\frac{1}{2}*(x+\sqrt{x^2+4})
[/mm]
Nun kann man in der Gleichung [mm] k^3=3 [/mm] das k ersetzen
und zunächst mal alles ausmultiplizieren. Das ist der
unangenehme Teil der Rechnung, die aber sorgfältig
gemacht werden muss, damit man das Ganze nicht
dreimal machen muss ...
Dann bringt man in der entstandenen Gleichung die
Terme mit [mm] \sqrt{x^2+4} [/mm] auf die eine Seite, den Rest auf
die andere. Dann beidseitig quadrieren und noch
etwas Kosmetik betreiben. So kommt man auf ein
(ganzzahliges) Polynom mit der gewünschten
Nullstelle. Ob es minimal ist, muss man natürlich
dann noch prüfen.
LG Al-Chw.
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo!
> Ok, also dann würde ich wie folgt vorgehen
> [mm]a^{3}= 3-3\sqrt[3]{3}+\frac{3}{\sqrt[3]{3}}- \underbrace{\frac{1}{3}}_{= (\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{3}}[/mm]
>
> [mm]=>a^3=-3(-1\underbrace{+\wurzel[3]{3}-\bruch{1}{\sqrt[3]{3}}}_{=a}+\bruch{1}{3*(\sqrt[3]{3})^3})$[/mm]
>
> [mm]=>a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3})[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm](\wurzel[3]{3})^3=3[/mm] schreibe, dann bekomme
> ich
> [mm]a^3+3a-\bruch{8}{9}=0,[/mm] jedoch stört der letzte
> Bruchterm.
>
> Aber wie kann ich
> [mm]a^3=-3(a-1+\bruch{1}{3*(\wurzel[3]{3})^3})[/mm] weiter
> vereinfachen?
>
Es ist doch [mm]\left(\wurzel[3]{3}\right)^{3}=3[/mm]
> Irgendwie seh ich das grad nicht.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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