Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden Matrix:
[mm] $$B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$$
[/mm]
(b) Sei [mm] $A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$ [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] $$(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2$$
[/mm]
Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von $A$ an. (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.) |
Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
[mm] $$p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2$$
[/mm]
Also kommen für das min.Polynom in Frage:
[mm] $m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2$
[/mm]
und
[mm] $m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)$
[/mm]
Nun habe ich berechnet:
[mm] $(B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}$
[/mm]
Somit ist [mm] $-(\lambda-3)(\lambda-1)$ [/mm] Minimalpolynom von B.
Stimmt das???
Und wie gehe ich bei der b) vor?
Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß nicht, wie ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben soll.
Vielen Dank
DudiPupan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden
> Matrix:
> [mm]B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> (b) Sei [mm]$A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$[/mm] mit
> charakteristischem Polynom [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von [mm]A[/mm] an.
> (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.)
> Hallo,
> ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
>
> Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
>
> [mm]p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
>
> Also kommen für das min.Polynom in Frage:
> [mm]m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
> und
> [mm]m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> Nun habe ich berechnet:
>
> [mm](B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
> Somit ist [mm]-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm] Minimalpolynom von B.
> Stimmt das???
Ja
>
> Und wie gehe ich bei der b) vor?
> Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß nicht, wie
> ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben
> soll.
Im Minimalpolynom müssen die Faktoren (x-1), (x-2), (x-3) und (x-4) vorkommen.
FRED
>
> Vielen Dank
> DudiPupan
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> > (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden
> > Matrix:
> > [mm]B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> >
> > (b) Sei [mm]$A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$[/mm] mit
> > charakteristischem Polynom [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von [mm]A[/mm] an.
> > (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.)
> > Hallo,
> > ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> > Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
> >
> > Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
> >
> > [mm]p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
>
> >
> > Also kommen für das min.Polynom in Frage:
> > [mm]m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
> > und
> > [mm]m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> > Nun habe ich berechnet:
> >
> >
> [mm](B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
> > Somit ist [mm]-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm] Minimalpolynom von
> B.
> > Stimmt das???
>
> Ja
>
>
> >
> > Und wie gehe ich bei der b) vor?
> > Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß nicht,
> wie
> > ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben
> > soll.
>
>
> Im Minimalpolynom müssen die Faktoren (x-1), (x-2),
> (x-3) und (x-4) vorkommen.
Okay, d.h. alle möglichen Minimalpolynome wären:
[mm] $m_{A1}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2$
[/mm]
[mm] $m_{A2}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2$
[/mm]
[mm] $m_{A3}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)$
[/mm]
[mm] $m_{A4}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
[/mm]
Und wie begründe ich das mit Chayley-Hamilton?
Vielen Dank
lG Dudi
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank
> > DudiPupan
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden
> > > Matrix:
> > >
> [mm]B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > (b) Sei [mm]$A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$[/mm] mit
> > > charakteristischem Polynom [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > > Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von [mm]A[/mm] an.
> > > (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.)
> > > Hallo,
> > > ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> > > Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
> > >
> > > Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
> > >
> > > [mm]p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also kommen für das min.Polynom in Frage:
> > > [mm]m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
> > > und
> > > [mm]m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> > > Nun habe ich berechnet:
> > >
> > >
> >
> [mm](B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
> > > Somit ist [mm]-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm] Minimalpolynom von
> > B.
> > > Stimmt das???
> >
> > Ja
> >
> >
> > >
> > > Und wie gehe ich bei der b) vor?
> > > Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß
> nicht,
> > wie
> > > ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben
> > > soll.
> >
> >
> > Im Minimalpolynom müssen die Faktoren (x-1), (x-2),
> > (x-3) und (x-4) vorkommen.
>
> Okay, d.h. alle möglichen Minimalpolynome wären:
> [mm]m_{A1}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> [mm]m_{A2}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2[/mm]
> [mm]m_{A3}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)[/mm]
> [mm]m_{A4}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)[/mm]
>
> Und wie begründe ich das mit Chayley-Hamilton?
Du mußt doch nur zeigen, dass keiner der 4 von mir oben genannten Faktoren fehlen darf.
Dazu nimm an, dass (x-1) fehlt. Dann gilt nach Chayley-Hamilton:
(*) [mm] (A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0
[/mm]
Nun ist aber 1 ein Eigenwert von A. Also gibt es ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit Ax=x
Gehe damit in (*) ein. Dann bekommst Du den Widerspruch 0=-6x.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> lG Dudi
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank
> > > DudiPupan
> >
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> > > > (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden
> > > > Matrix:
> > > >
> > [mm]B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > (b) Sei [mm]$A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$[/mm] mit
> > > > charakteristischem Polynom [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > > > Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von [mm]A[/mm]
> an.
> > > > (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.)
> > > > Hallo,
> > > > ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> > > > Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
> > > >
> > > > Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
> > > >
> > > > [mm]p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Also kommen für das min.Polynom in Frage:
> > > > [mm]m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
> > > > und
> > > > [mm]m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> > > > Nun habe ich berechnet:
> > > >
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> > >
> >
> [mm](B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
> > > > Somit ist [mm]-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm] Minimalpolynom
> von
> > > B.
> > > > Stimmt das???
> > >
> > > Ja
> > >
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> > > > Und wie gehe ich bei der b) vor?
> > > > Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß
> > nicht,
> > > wie
> > > > ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben
> > > > soll.
> > >
> > >
> > > Im Minimalpolynom müssen die Faktoren (x-1), (x-2),
> > > (x-3) und (x-4) vorkommen.
> >
> > Okay, d.h. alle möglichen Minimalpolynome wären:
> > [mm]m_{A1}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > [mm]m_{A2}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2[/mm]
> > [mm]m_{A3}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)[/mm]
> > [mm]m_{A4}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)[/mm]
> >
> > Und wie begründe ich das mit Chayley-Hamilton?
>
> Du mußt doch nur zeigen, dass keiner der 4 von mir oben
> genannten Faktoren fehlen darf.
>
> Dazu nimm an, dass (x-1) fehlt. Dann gilt nach
> Chayley-Hamilton:
>
> (*) [mm](A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0[/mm]
>
> Nun ist aber 1 ein Eigenwert von A. Also gibt es ein x [mm]\ne[/mm]
> 0 mit Ax=x
Also so:
[mm] $(A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0$ [/mm] $|*$
[mm] $\Rightarrow (Ax-2x)(Ax-3x)^2(Ax-4x)^2=0$
[/mm]
[mm] $=(x-2x)(x-3x)^2(x-3x)^2=0$
[/mm]
[mm] $=(-x)(-2x)^2(-3x)^2=0$
[/mm]
[mm] $=-36x^5=0$
[/mm]
Widerspruch, da [mm] $x\neq [/mm] 0$
Muss ich das nun mit allen Faktoren machen?
Vielen Dank
Dudi
>
> Gehe damit in (*) ein. Dann bekommst Du den Widerspruch
> 0=-6x.
>
> FRED
>
>
> >
> > Vielen Dank
> >
> > lG Dudi
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > > DudiPupan
> > >
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> > > > > (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom von der folgenden
> > > > > Matrix:
> > > > >
> > > [mm]B:=\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > (b) Sei [mm]$A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$[/mm] mit
> > > > > charakteristischem Polynom [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > > > > Geben Sie alle möglichen Minimalpolynomen von
> [mm]A[/mm]
> > an.
> > > > > (Begründen Sie ihre Antwort mit dem Chayley-Hamilton.)
> > > > > Hallo,
> > > > > ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> > > > > Die (a) habe ich denke ich einmal gelöst:
> > > > >
> > > > > Zunächst berechnet man das char. Polynom von B:
> > > > >
> > > > > [mm]p_B=det\pmat{2-\lambda &2&-5\\3&7-\lambda &-15\\1&2&-(4-\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Also kommen für das min.Polynom in Frage:
> > > > > [mm]m_b=-(\lambda-3)(\lambda-1)^2[/mm]
> > > > > und
> > > > > [mm]m_B=-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> > > > > Nun habe ich berechnet:
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](B-3*I)*(B-I)=(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3})*(\pmat{2&2&-5\\3&7&-15\\1&2&-4}-\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1})=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
> > > > > Somit ist [mm]-(\lambda-3)(\lambda-1)[/mm]
> Minimalpolynom
> > von
> > > > B.
> > > > > Stimmt das???
> > > >
> > > > Ja
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Und wie gehe ich bei der b) vor?
> > > > > Ich habe mir den Satz durchgelesen, aber weiß
> > > nicht,
> > > > wie
> > > > > ich das begründen soll, oder wie ich die minpoly angeben
> > > > > soll.
> > > >
> > > >
> > > > Im Minimalpolynom müssen die Faktoren (x-1), (x-2),
> > > > (x-3) und (x-4) vorkommen.
> > >
> > > Okay, d.h. alle möglichen Minimalpolynome wären:
> > > [mm]m_{A1}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2[/mm]
> > > [mm]m_{A2}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2[/mm]
> > > [mm]m_{A3}=(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)[/mm]
> > > [mm]m_{A4}=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)[/mm]
> > >
> > > Und wie begründe ich das mit Chayley-Hamilton?
> >
> > Du mußt doch nur zeigen, dass keiner der 4 von mir oben
> > genannten Faktoren fehlen darf.
> >
> > Dazu nimm an, dass (x-1) fehlt. Dann gilt nach
> > Chayley-Hamilton:
> >
> > (*) [mm](A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0[/mm]
> >
> > Nun ist aber 1 ein Eigenwert von A. Also gibt es ein x [mm]\ne[/mm]
> > 0 mit Ax=x
>
> Also so:
> [mm](A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0[/mm] [mm]|*[/mm]
> [mm]\Rightarrow (Ax-2x)(Ax-3x)^2(Ax-4x)^2=0[/mm]
>
> [mm]=(x-2x)(x-3x)^2(x-3x)^2=0[/mm]
> [mm]=(-x)(-2x)^2(-3x)^2=0[/mm]
> [mm]=-36x^5=0[/mm]
> Widerspruch, da [mm]x\neq 0[/mm]
> Muss ich das nun mit allen
> Faktoren machen?
>
> Vielen Dank
> Dudi
> >
> > Gehe damit in (*) ein. Dann bekommst Du den Widerspruch
> > 0=-6x.
wie kommst du hier auf -6x?as habe ich falsch gemacht, dass ich auf [mm] -26x^5 [/mm] komme?
bzw. [mm] x^5 [/mm] ist für einen Spaltenvektor x doch gar nicht definiert, oder?
lg Dudi
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > lG Dudi
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > > DudiPupan
> > > >
> >
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> > > Du mußt doch nur zeigen, dass keiner der 4 von mir oben
> > > genannten Faktoren fehlen darf.
> > >
> > > Dazu nimm an, dass (x-1) fehlt. Dann gilt nach
> > > Chayley-Hamilton:
> > >
> > > (*) [mm](A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0[/mm]
> > >
> > > Nun ist aber 1 ein Eigenwert von A. Also gibt es ein x [mm]\ne[/mm]
> > > 0 mit Ax=x
> >
Soll hier vllt stehen Ax=0?
Ist das ein Schreibfehler?
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Hallo DudiPupan,
> > > > Du mußt doch nur zeigen, dass keiner der 4 von mir oben
> > > > genannten Faktoren fehlen darf.
> > > >
> > > > Dazu nimm an, dass (x-1) fehlt. Dann gilt nach
> > > > Chayley-Hamilton:
> > > >
> > > > (*) [mm](A-2I)(A-3I)^2(A-4I)^2=0[/mm]
> > > >
> > > > Nun ist aber 1 ein Eigenwert von A. Also gibt es ein x [mm]\ne[/mm]
> > > > 0 mit Ax=x
> > >
> Soll hier vllt stehen Ax=0?
> Ist das ein Schreibfehler?
>
Nein, das ist kein Schreibfehler.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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