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| Aufgabe | Seien [mm] \mathbb{K} [/mm] ein Körper, [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] und [mm] A,B\in M_{nn}(\mathbb{K}).
[/mm]
Beweisen Sie: Ist A invertierbar, so ist [mm] \mu_{AB}=\mu_{BA}
[/mm]
Zusatz: [mm] \mu [/mm] ist hier das Minimalpolynom. |
Bei dieser Aufgabe kann ich leider keinen Anfang finden. Ich kenne den Determinantenmultiplikationssatz, den ich schon versucht habe hier anzuwenden, leider ohne Erfolg. Ich weiß, das beim Charakteristischen Polynom, der konstante Faktor [mm] (-1)^n*\det(AB) [/mm] ist, allerdings hilft mir das irgendwie nicht weiter. Ich habe bei dieser Aufgabe irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
Ich bräuchte einfach eine Idee wie man an diese Aufgabe heran gehen kann.
Ich hoffe ihr könnt mir dabei ein wenig helfen.
LG, Wolfgang.
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moin,
Weißt du schon, dass ähnliche Matrizen dasselbe Minimalpolynom haben?
Falls ja dann zeige, dass $AB$ und $BA$ ähnlich sind.
lg
Schadow
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Hallo, vielen Dank für den Anstoß, scheint etwas geholfen zu haben  .
Ich würde jetzt die Lösung wie folgt Formulieren:
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Diese Aufgabe lösen wir mit Hilfe der Tatsache, das ähnliche Matrizen die gleichen Charakteristischen Polynome und die gleichen Minimalpolynome haben. Um die Ähnlichkeit von $AB=BA$ zu zeigen benötigen wir die invertierbare Matrix A. Sei $BA=ABAA^-1=AB$. Daraus folgt, $BA$ ist ähnlich zu $AB$. Daraus wiederum folgt, das [mm] $\mu_{AB}=\mu_{BA}$ [/mm] ist.
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Es wäre lieb wenn sich das noch jemand ansehen könnte, ob das so i.O. ist.
Liebe Grüße, Wolfgang.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, vielen Dank für den Anstoß, scheint etwas geholfen
> zu haben .
>
> Ich würde jetzt die Lösung wie folgt Formulieren:
>
> --
>
> Diese Aufgabe lösen wir mit Hilfe der Tatsache, das
> ähnliche Matrizen die gleichen Charakteristischen Polynome
> und die gleichen Minimalpolynome haben. Um die Ähnlichkeit
> von [mm]AB=BA[/mm] zu zeigen benötigen wir die invertierbare Matrix
> A. Sei [mm]BA=ABAA^-1=AB[/mm].
Das ist Unsinn. Es gilt nicht BA=AB !!!
Dass A und B ähnlich sind, hast Du noch nicht gezeigt !
Edit: Du mußt natürlich zeigen, dass AB und BA ähnlich sind.
FRED
> Daraus folgt, [mm]BA[/mm] ist ähnlich zu [mm]AB[/mm].
> Daraus wiederum folgt, das [mm]\mu_{AB}=\mu_{BA}[/mm] ist.
>
> --
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> Es wäre lieb wenn sich das noch jemand ansehen könnte, ob
> das so i.O. ist.
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> Liebe Grüße, Wolfgang.
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Hallo miteinander,
> Das ist Unsinn. Es gilt nicht BA=AB !!!
Ok, wenn das Unsinn ist, dann müssen wir daran noch mal arbeiten.
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> Dass A und B ähnlich sind, hast Du noch nicht gezeigt !
Ich hätte jetzt vermutet, das ich hier nicht zeigen muss das A und B ähnlich sind. Ich hätte bei meiner Aufgabenstellung gedacht, das ich zeigen muss, dass [mm] \mu_{AB}=\mu_{BA} [/mm] ist, also AB und BA das gleiche Minimalpolynom haben. AB und BA haben das gleiche charakteristische Polynom und das gleiche Minimalpolynom wenn AB ähnlich zu BA ist. Die beiden sind aber nur ähnlich zueinander wenn A invertierbar ist. Dann kann ich schreiben: AB ist ähnlich zu BA denn A ist invertierbar, also gilt [mm] A^{-1}ABA=BA. [/mm]
Wo in diesem Ansatz befindet sich denn der Fehler?
Ich weiß zwar, dass AB=BA nur gilt, wenn A oder B invertierbar ist. Sollte das bei A und B nicht der Fall sein, dann sind sich beide Matrizen nicht ähnlich. Ein Beispiel hierfür wäre [mm] A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} [/mm] und [mm] B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. [/mm] Multipliziert man AB bekommt man [mm] AB=B\neq0 [/mm] aber BA=0.
Ich weiß zusätzlich, das A und B nur ähnlich sind, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so das [mm] A=SBS^{-1} [/mm] ist. Aber wozu sollte ich das zeigen? Das hilft mir bei meinem Matrizenprodukt doch nicht weiter oder?!
>
> FRED
>
Liebe Grüße, Wolfgang.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo miteinander,
>
> > Das ist Unsinn. Es gilt nicht BA=AB !!!
>
> Ok, wenn das Unsinn ist, dann müssen wir daran noch mal
> arbeiten.
>
> >
> > Dass A und B ähnlich sind, hast Du noch nicht gezeigt !
Upps ! Da hab ich mich verschrieben. Zeigen sollst Du dass AB und BA ähnlich sind.
>
> Ich hätte jetzt vermutet, das ich hier nicht zeigen muss
> das A und B ähnlich sind.
Ja, oben hatte ich mich verschrieben.
> Ich hätte bei meiner
> Aufgabenstellung gedacht, das ich zeigen muss, dass
> [mm]\mu_{AB}=\mu_{BA}[/mm] ist, also AB und BA das gleiche
> Minimalpolynom haben. AB und BA haben das gleiche
> charakteristische Polynom und das gleiche Minimalpolynom
> wenn AB ähnlich zu BA ist. Die beiden sind aber nur
> ähnlich zueinander wenn A invertierbar ist. Dann kann ich
> schreiben: AB ist ähnlich zu BA denn A ist invertierbar,
> also gilt [mm]A^{-1}ABA=BA.[/mm]
Genau.
>
> Wo in diesem Ansatz befindet sich denn der Fehler?
>
> Ich weiß zwar, dass AB=BA nur gilt, wenn A oder B
> invertierbar ist. Sollte das bei A und B nicht der Fall
> sein, dann sind sich beide Matrizen nicht ähnlich. Ein
> Beispiel hierfür wäre
> [mm]A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.[/mm] Multipliziert man
> AB bekommt man [mm]AB=B\neq0[/mm] aber BA=0.
>
> Ich weiß zusätzlich, das A und B nur ähnlich sind, wenn
> es eine invertierbare Matrix S gibt, so das [mm]A=SBS^{-1}[/mm] ist.
> Aber wozu sollte ich das zeigen? Das hilft mir bei meinem
> Matrizenprodukt doch nicht weiter oder?!
Wie gesagt, ich hatte mich verschrieben.
FRED
>
> >
> > FRED
> >
>
> Liebe Grüße, Wolfgang.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 23.10.2012 | | Autor: | WolfgangF |
> > Hallo miteinander,
> >
> > > Das ist Unsinn. Es gilt nicht BA=AB !!!
> >
> > Ok, wenn das Unsinn ist, dann müssen wir daran noch mal
> > arbeiten.
> >
> > >
> > > Dass A und B ähnlich sind, hast Du noch nicht gezeigt !
>
> Upps ! Da hab ich mich verschrieben. Zeigen sollst Du dass
> AB und BA ähnlich sind.
>
>
> >
> > Ich hätte jetzt vermutet, das ich hier nicht zeigen muss
> > das A und B ähnlich sind.
>
> Ja, oben hatte ich mich verschrieben.
>
>
>
> > Ich hätte bei meiner
> > Aufgabenstellung gedacht, das ich zeigen muss, dass
> > [mm]\mu_{AB}=\mu_{BA}[/mm] ist, also AB und BA das gleiche
> > Minimalpolynom haben. AB und BA haben das gleiche
> > charakteristische Polynom und das gleiche Minimalpolynom
> > wenn AB ähnlich zu BA ist. Die beiden sind aber nur
> > ähnlich zueinander wenn A invertierbar ist. Dann kann ich
> > schreiben: AB ist ähnlich zu BA denn A ist invertierbar,
> > also gilt [mm]A^{-1}ABA=BA.[/mm]
>
> Genau.
Sehr schön, dann habe ich es ja verstanden .
>
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> >
> > Wo in diesem Ansatz befindet sich denn der Fehler?
> >
> > Ich weiß zwar, dass AB=BA nur gilt, wenn A oder B
> > invertierbar ist. Sollte das bei A und B nicht der Fall
> > sein, dann sind sich beide Matrizen nicht ähnlich. Ein
> > Beispiel hierfür wäre
> > [mm]A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}[/mm] und
> > [mm]B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.[/mm] Multipliziert man
> > AB bekommt man [mm]AB=B\neq0[/mm] aber BA=0.
> >
> > Ich weiß zusätzlich, das A und B nur ähnlich sind, wenn
> > es eine invertierbare Matrix S gibt, so das [mm]A=SBS^{-1}[/mm] ist.
> > Aber wozu sollte ich das zeigen? Das hilft mir bei meinem
> > Matrizenprodukt doch nicht weiter oder?!
>
> Wie gesagt, ich hatte mich verschrieben.
Kein Problem. So habe ich noch einmal darüber nachgedacht und alles was ich weiß wiedergegeben. Bringt mich auf jeden Fall weiter. Man soll ja auch mal lernen seine Aussagen zu verteidigen  .
>
> FRED
Vielen herzlichen Dank und liebe Grüße!
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