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| Aufgabe | Es seien
A(x) = x^10 − [mm] 3x^9 [/mm] − [mm] 32x^8 [/mm] + [mm] 174x^7 [/mm] − [mm] 35x^6 [/mm] − [mm] 1827x^5 [/mm] + [mm] 6146x^4
[/mm]
− [mm] 9816x^3 [/mm] − 4080x + [mm] 8672x^2 [/mm] + 800
μA(x) = [mm] x^6 [/mm] + [mm] 4x^5 [/mm] − [mm] 22x^4 [/mm] − [mm] 32x^3 [/mm] + [mm] 209^2 [/mm] − 260x + 100
das charakteristische Polynom [mm] x_{2} [/mm] und das Minimalpolynom der Matrix A [mm] \varepsilon [/mm] M10,10(R), die
genau die Eigenwerte 1, 2 und −5 hat. Faktorisieren Sie A und bestimmen Sie alle m¨oglichen
Jordanschen Normalformen dieser Matrix. |
Hallo!
Also ich habe mir erstmal überlegt, dass ich ja mit Polynomdivision das charakteristische polynom durch das Minimalpolynom teilen kann, aber was bringt mir das denn hinsichtlich der faktorisierung?
das war jetzt das einzigste was mir zu der Aufgabe erstmal eingefallen ist, bin ich da komplett falsch oder ist das schonmal gar noicht so schlecht...
danke schonmal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien
> [mm] \chi_A(x) [/mm] = x^10 − [mm]3x^9[/mm] − [mm]32x^8[/mm] + [mm]174x^7[/mm] −
> [mm]35x^6[/mm] − [mm]1827x^5[/mm] + [mm]6146x^4[/mm]
> − [mm]9816x^3[/mm] − 4080x + [mm]8672x^2[/mm] + 800
> μA(x) = [mm]x^6[/mm] + [mm]4x^5[/mm] − [mm]22x^4[/mm] − [mm]32x^3[/mm] +
> [mm]209^2[/mm] − 260x + 100
> das charakteristische Polynom [mm]x_{2}[/mm] und das Minimalpolynom
> der Matrix A [mm]\varepsilon[/mm] M10,10(R), die
> genau die Eigenwerte 1, 2 und −5 hat. Faktorisieren
> Sie A und bestimmen Sie alle m¨oglichen
> Jordanschen Normalformen dieser Matrix.
> Hallo!
>
> Also ich habe mir erstmal überlegt, dass ich ja mit
> Polynomdivision das charakteristische polynom durch das
> Minimalpolynom teilen kann, aber was bringt mir das denn
> hinsichtlich der faktorisierung?
Hallo,
irgendwas wirst Du Dir doch gedacht haben dabei, als Dir dieser Gedanke gekommen ist...
Auf jeden Fall hast Du [mm] \chi(x) [/mm] dann schonmal in zwei kleinere Polynome zerlegt.
[mm] \chi_A(x)=\\mu_A(x)*p(x).
[/mm]
p(x) ist nur noch vom Grad 4, das Auffinden seiner Nullstellen ist sicher einfacher als bei einem Polynom vom Grad 10.
Dann bedenke, daß alle Nullstellen von p(x) auch solche des Minimalpolynoms sind. Mit dieser Information kannst Du das Minimalpolynom weiter zerlegen.
(Ich sehe gerade, daß die Eigenwerte ja angegeben sind. Du mußt also auf [mm] \chi_A(x)=(x-1)^{k_1}*(x-2)^{k_2}(x-5)^{k_3} [/mm] zusteuern.)
Gruß v. Angela
> das war jetzt das einzigste was mir zu der Aufgabe erstmal
> eingefallen ist, bin ich da komplett falsch oder ist das
> schonmal gar noicht so schlecht...
> danke schonmal für eure Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
also:
habe jetzt das ausgerechnet, hoffe das ist richtig:
char polynom: [mm] (x-2)^5 *(x-1)^3 *(x+5)^2
[/mm]
MinimalPolynom: [mm] (x-2)^2 *(x-1)^2 *(x+5)^2
[/mm]
theoretisch könnte ich ja jetzt die jordannormalform aufstellen oder?
also auf der diagonalen die Eeigenwerte und dann blöcke zeichnen und dann die 1en eintragen. aber jetzt hab ich nen problem dabei: beid er aufgabe stand ja dass es mehrere möglcihekeiten gibt, aber ich sehe nur eine.
der Exponent zum EW im Minimalpolynom gibt doch die größe des größten Jordanblocks an oder und dann gibt sich doch:
2100000000
0200000000
0021000000
0002000000
0000200000
0000011000
0000001000
0000000100
00000000-51
000000000-5
weil:
2 2er Blöcke und ein einerblock zur 2
1 2er Block und ein einerblock zur 1
1 2er Block zur -5
oder hab ich da irgendwas jetzt falsch gemaht?
danke Schonmal
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> Hallo!
> also:
> habe jetzt das ausgerechnet, hoffe das ist richtig:
> char polynom: [mm](x-2)^5 *(x-1)^3 *(x+5)^2[/mm]
> MinimalPolynom:
> [mm](x-2)^2 *(x-1)^2 *(x+5)^2[/mm]
Hallo,
nachgerechnet habe ich das nicht in Einzelheiten, es sieht aber plausibel aus, die 800 bekommt man jedenfalls.
> 2 2er Blöcke und ein einerblock zur 2
Hier hast Du eine weitere Möglichkeit: 2 - 1 - 1 - 1.
Gruß v. Angela
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ja stimmt, die möglichkeit hab ich übersehen.
also die Polynome hab ich noichmal nachgerechnet die stimmen.
okay also eigentlich scheint die aufgabe dann gelöst zu sein, ABER: Aufgabe b:b) Was ¨andert sich, wenn Sie ferner wissen, das dimE(A, 2)= 2 ist?
Das steht doch jetzt im Widerspruch oder? Bedeutet doch, dass die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert = 2 ist oder lieg ich da falsch?
wie soll das denn gehen? der größte darf ja nach minimalpolynom auch nur 2 sein, dann hab ich mit 2*2 Blöcken erst 4. hm komisch... könnt ihr mir da helfen?
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> okay also eigentlich scheint die aufgabe dann gelöst zu
> sein, ABER: Aufgabe b:b) Was ¨andert sich, wenn Sie ferner
> wissen, das dimE(A, 2)= 2 ist?
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> Das steht doch jetzt im Widerspruch oder? Bedeutet doch,
> dass die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert = 2 ist oder
> lieg ich da falsch?
Hallo,
nein, da liegst Du richtig.
> wie soll das denn gehen? der größte darf ja nach
> minimalpolynom auch nur 2 sein, dann hab ich mit 2*2
> Blöcken erst 4. hm komisch... könnt ihr mir da helfen?
Ich denke, daß man aus dem Schlamassel nur herauskommt, wenn man sagt, daß es dann keine Lösung gibt.
Immerhin ist das doch eine passende Antwort auf die Frage: was ändert sich?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Di 05.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
okay danke schonmal für die mühe, sonst seh ich auch einfach keine lösung. weil die Faktorisierungen sind 100% richtig, hab ich jetzt 2mal nachgerechnet und dann geht das ja einfach gar nicht anders..
dankeschön
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nochmal zu der Aufgabe b)
was dann ist wenn der dim Eig(2) = 2 ist hatten wir ja jetzt geklärt.
aber was ist denn wenn: dim(W2)= 2
bedeutet das nicht das gleiche? oder was ist damit gemeint?
Danke schonmal
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> aber was ist denn wenn: dim(W2)= 2
Hallo,
da ich Deine Vorlesung nicht besuche, solltest Du schon erklären, was bei Euch mit "W2" gemeint ist...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 11.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
sorry..
also das einzigste dazu was ich in meiner vorlesung finde ist:
V = W1 + . . . + Wk ( direkte Summe)
damit ist gemeint: eine Zerlegung in invariante Unterräume
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> aber was ist denn wenn: dim(W2)= 2
Hallo,
dieses W2 muß in Deinem Skript genauer erklärt sein.
Geht es um die Hauptraumzerlegung?
Falls W2 der Hauptraum zum Eigenwert 2 sein soll, kann nicht gleichzeitig die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 2 =5 sein, die Dimension seines Hauptraumes jedoch=2, denn alg. Vielfachheit und Dimension des Hauptraumes stimmen immer überein.
Gruß v. Angela
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