Minimalpolynom Körper/ VR < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 16.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei [mm] K\subset [/mm] L eine endliche Körpererweiterung.
Zu zeigen:
a) Für [mm] a\in [/mm] L ist das Minimalpolynom [mm] m_a [/mm] von a über K gleich dem Minimalpolynom des K-Vektorraumhom [mm] \varphi_a:L\to [/mm] L, [mm] x\mapsto [/mm] ax
b) Gilt L=K(a), so stimmt das Minimalpolynom von a über K mit dem charakteristischen Polynom $c [mm] _{\varphi_a}$ [/mm] von [mm] \varphi_a [/mm] überein. |
Hallo,
zu a)
kenne zwar die jeweilige Definition des Minimalpolynoms, weiß aber wirklich nicht, wie man da eine Verbindung herstellt. Kann mir jemand nen Tipp geben?
zu b) Sei n der Grad der Körpererweiterung. L ist ein n-dimensionaler K-VR. Deshalb hat das charakteristische Polynom c [mm] _\varphi_a [/mm] Grad n und ist normiert. Da a Eigenwert von [mm] \phi_a [/mm] ist, hat es außerdem a als Nullstelle. Daraus folgt [mm] m_a|c _\varphi_a, [/mm] und daraus, weil [mm] m_a [/mm] ebenfalls Grad n hat und normiert ist, dass [mm] m_a=c_{\varphi_a}. [/mm] Stimmt's so?
Lg, Verena
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> Sei [mm]K\subset[/mm] L eine endliche Körpererweiterung.
> Zu zeigen:
> a) Für [mm]a\in[/mm] L ist das Minimalpolynom [mm]m_a[/mm] von a über K
> gleich dem Minimalpolynom des K-Vektorraumhom
> [mm]\varphi_a:L\to[/mm] L, [mm]x\mapsto[/mm] ax
> Hallo,
> zu a)
> kenne zwar die jeweilige Definition des Minimalpolynoms,
> weiß aber wirklich nicht, wie man da eine Verbindung
> herstellt. Kann mir jemand nen Tipp geben?
Ich schreib die Definition nochmal auf, damit wir sie vergleichen können.
Wir haben den Polynomring $K[X]$ der Polynome mit Koeffizienten in $K$.
Das Minimalpolynom von $a [mm] \in [/mm] L$ über $K$ ist das gradkleinste normierte Polynom $f [mm] \in [/mm] K[X]$, für das die Abbildung $K[X] [mm] \to [/mm] L, f [mm] \mapsto [/mm] f(a)$ das Element [mm] $0\in [/mm] K$ liefert.
Das Minimalpolynom von [mm] $\phi \in End_K(L)$ [/mm] ist das gradkleinste normierte Polynom $f [mm] \in [/mm] K[X]$, für das die Abbildung $K[X] [mm] \to End_K(L), [/mm] f [mm] \mapsto f(\phi)$ [/mm] die Nullabbildung [mm] $0\in End_K(L)$ [/mm] liefert.
Ist $f = [mm] \sum \alpha_i X^i$, [/mm] dann ist [mm] $f(\phi) [/mm] = [mm] \sum \alpha_i \phi^i$, [/mm] eine punktweise Summe von skalaren Vielfachen von hintereinanderausgeführten Endomorphismen. (Achja, falls du es nicht weißt: "Endomorphismus" ist hier nur ein anderes Wort für einen Vektorraumhomomorphismus $L [mm] \to [/mm] L$ eines VR in sich selbst.)
Setze nun für ein beliebiges Polynom $f = [mm] \sum \alpha_i X^i$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] L$ den Endomorphismus [mm] $\varphi_a: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] ax$ in [mm] $f(\varphi_a)(x)$ [/mm] ein, du solltest das Ergebnis $f(a) x$ erhalten. Das sagt dir, dass [mm] $f(\varphi_a)$ [/mm] die Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] f(a) x$ ist.
Nun solltest du den Zusammenhang zwischen den beiden Minimalpolynomen herstellen können.
Gruß,
SirJective
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> Sei [mm]K\subset[/mm] L eine endliche Körpererweiterung.
> Zu zeigen:
> a) Für [mm]a\in[/mm] L ist das Minimalpolynom [mm]m_a[/mm] von a über K
> gleich dem Minimalpolynom des K-Vektorraumhom
> [mm]\varphi_a:L\to[/mm] L, [mm]x\mapsto[/mm] ax
> b) Gilt L=K(a), so stimmt das Minimalpolynom von a über K
> mit dem charakteristischen Polynom [mm]c _{\varphi_a}[/mm] von
> [mm]\varphi_a[/mm] überein.
> Hallo,
> zu b) Sei n der Grad der Körpererweiterung. L ist ein
> n-dimensionaler K-VR. Deshalb hat das charakteristische
> Polynom c [mm]_\varphi_a[/mm] Grad n und ist normiert.
Ja.
> Da a Eigenwert von [mm]\phi_a[/mm] ist, hat es außerdem a als Nullstelle.
Da $a$ nicht notwendig Element von $K$ ist, kann es nicht Eigenwert von [mm] $\varphi_a$ [/mm] sein.
a ist trotzdem Nullstelle von [mm] $c_{\varphi_a}$, [/mm] du kannst es mit dem Satz von Cayley-Hamilton begründen: [mm] $c_\varphi_a(\varphi_a) [/mm] = 0 [mm] \in End_K(L)$, [/mm] und deswegen ist [mm] $c_\varphi_a(a) [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] L$.
> Daraus folgt [mm]m_a|c _\varphi_a,[/mm] und daraus, weil [mm]m_a[/mm]
> ebenfalls Grad n hat und normiert ist, dass
> [mm]m_a=c_{\varphi_a}.[/mm] Stimmt's so?
Ja, der Rest stimmt.
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 16.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo SirJective,
danke für Deine Erklärungen, jetzt hab ich's verstanden 
Gruß, Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Do 24.08.2006 | | Autor: | kathrine |
hallo SirJective und andere!
ich hab noch ne Frage zu dem Charakteristischen Polynom bzw dem Minimalpolynom eines k-Homos. dass das Minimalpolynom das char Polynom teilt, ist nach obiger Diskussion klar, aber warum muss das char Polynom eine Potenz des Minimalpolynoms sein? zumindest ist dies die Aussage einer Staatsexamensaufgabe, zu der es in der Lösung heißt, dass die irred Teiler des char. Polynoms mit denen des Minimalpolynoms übereinstimmen und dass deshalb das char Polynom eine Potenz des minimalpolynoms sei.
zum einen ist mir nicht klar, warum jeder irred Teiler des char Polynoms ein irred Teiler des (irred) Minimalpolynoms sein soll. und zum anderen heißt ja auch dies nicht unmittelbar, dass das char Polynom gleich eine Potenz des minimalpolynoms sein muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> ich hab noch ne Frage zu dem Charakteristischen Polynom
> bzw dem Minimalpolynom eines k-Homos. dass das
> Minimalpolynom das char Polynom teilt, ist nach obiger
> Diskussion klar, aber warum muss das char Polynom eine
> Potenz des Minimalpolynoms sein?
> zumindest ist dies die
> Aussage einer Staatsexamensaufgabe, zu der es in der Lösung
> heißt, dass die irred Teiler des char. Polynoms mit denen
> des Minimalpolynoms übereinstimmen und dass deshalb das
> char Polynom eine Potenz des minimalpolynoms sei.
>
> zum einen ist mir nicht klar, warum jeder irred Teiler des
> char Polynoms ein irred Teiler des (irred) Minimalpolynoms
> sein soll.
Das zeigt man normalerweise in der linearen Algebra:
Durch Uebergang zu einem Zerfaellungskoerper vom char. Polynom kannst du davon ausgehen, das dass char. Polynom durch $f := [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \lambda_i)^{s_i}$ [/mm] gegeben ist und das Minimalpolynom durch $g := [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \lambda_i)^{t_i}$ [/mm] mit [mm] $t_i \le s_i$ [/mm] (da das Minimalpolynom das char. Poly. teilt). Es sei [mm] $s_i [/mm] > 0$ fuer alle $i$, und [mm] $\lambda_i \neq \lambda_j$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$.
Sei $v$ ein Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $\lambda_i$. [/mm] Dann ist $(A - [mm] \lambda_j id)^{t_j} [/mm] v = (A - [mm] \lambda_j id)^{t_j-1} [/mm] (A v - [mm] \lambda_j [/mm] v) = (A - [mm] \lambda_j id)^{t_j-1} (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j [/mm] v) = [mm] (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j) [/mm] (A - [mm] \lambda_j id)^{t_j-1} [/mm] v$. Per Induktion kommt also $(A - [mm] \lambda_j id)^{t_j} [/mm] v = [mm] (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j)^{t_j} [/mm] v$ heraus.
Damit ist $g(A) v = [mm] \prod_{j=1}^k [/mm] (A - [mm] \lambda_j id)^{t_j} [/mm] v = [mm] \prod_{j=1}^k (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j)^{t_j} [/mm] v$. Und da $g(A) = 0$ ist (da $g$ das Minimalpolynom ist), muss also $g(A) v = 0$ sein. Da $v [mm] \neq [/mm] 0$ ist, geht das nur, wenn [mm] $\prod_{j=1}^k (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j)^{t_j} [/mm] = 0$ ist. Also muss [mm] $t_i [/mm] > 0$ sein.
Da $i$ beliebig war muessen alle [mm] $t_i [/mm] > 0$ sein, womit schonmal jeder irreduzible Faktor vom Minimalpolynom auch einer vom charakteristischen Polynom ist.
(In der linearen Algebra kann man natuerlich meistens noch nicht damit argumentieren, das man zum Zerfaellungskoerper uebergeht, und man muss sich auch ueberlegen dass sich bei diesem Vorgang nichts an den Polynomen aendert. Aber mit etwas mehr Wissen ist das problemlos moeglich, und die Ueberlegung ist auch nicht schwer...)
> und zum anderen heißt ja auch dies nicht
> unmittelbar, dass das char Polynom gleich eine Potenz des
> minimalpolynoms sein muss.
Auf den ersten Blick nicht, da hast du Recht! Und bei reinen Vektorraumendomorphismen braucht das auch nicht zu gelten; andernfalls muesste der Grad des Minimalpolynoms ein Teiler vom Grad des char. Poly. (und damit der Vektorraumdimension) sein, was i.A. nicht gilt: Nimm etwa eine Nullmatrix und platziere auf einer der Nebendiagonalen ein paar 1en; damit bekommst du jeden beliebigen Grad vom Minimalpolynom hin.
Also brauchen wir etwas Koerpertheorie.
Wenn z.B. $K$ von Charakteristik 0 ist, dann gibt es fuer einen fest gewaehlten algebraischen Abschluss [mm] $\overline{K}$ [/mm] von $K$ genau $n := [mm] \dim_K [/mm] L$ $K$-lineare Koerpereinbettungen [mm] $\sigma [/mm] : L [mm] \to \overline{K}$; [/mm] diese seien [mm] $\sigma_1, \dots, \sigma_n$. [/mm] Das charakteristische Polynom eines Elementes [mm] $\alpha \in [/mm] L$ ist gegeben durch [mm] $\prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \sigma_i(\alpha)) \in [/mm] K[x]$ (das dies tatsaechlich ein Polynom in $K[x]$ ist muss man erstmal beweisen; dazu braucht man ein kleines bisschen Galoistheorie).
Wenn man nun die [mm] $\sigma_i|_{K(\alpha)}$ [/mm] betrachtet, bekommt man $k := [mm] \dim_K K(\alpha)$ [/mm] verschiedene Einbettungen, wobei $k$ ein Teiler von $n$ ist. Die Einschraenkungen seien [mm] $\tau_1, \dots, \tau_k$. [/mm] Und zu jeder solchen Einbettung [mm] $\tau [/mm] : [mm] K(\alpha) \to \overline{K}$ [/mm] gibt es genau [mm] $\frac{n}{k}$ [/mm] Einbettungen [mm] $\sigma_i$, [/mm] welche eingeschraenkt auf [mm] $K(\alpha)$ [/mm] gerade [mm] $\tau$ [/mm] sind.
Mit dem gleichen Argument ist das char. Polynom von [mm] $\alpha$ [/mm] fuer die Erweiterung [mm] $K(\alpha)/K$ [/mm] nun durch [mm] $\prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \tau_k(\alpha)) \in [/mm] K[x]$ gegeben, und nach (b) der Aufgabe ist dies gleich dem Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$.
Damit ist nun das charakteristische Polynom von [mm] $\alpha$ [/mm] fuer die Erweiterung $L/K$ gerade [mm] $\prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \sigma_i(\alpha)) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \sigma_i|_{K(\alpha)}(\alpha)) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \tau_i(\alpha))^{n/k}$, [/mm] womit es die $n/k$-te Potenz des Minimalpolynoms ist.
Ok. Bisher hab ich einen kleinen Teil etwas ungenau behandelt: Naemlich warum es zu jedem [mm] $\tau_i$ [/mm] genau $k/n = [mm] \dim_{K(\alpha)} [/mm] L$ Fortsetzungen gibt. Aber das folgt genau mit dem gleichen Argument, warum es $n = [mm] \dim_K [/mm] L$ Einbettungen von $L$ in $K$ gibt (und da [mm] $\overline{K}$ [/mm] ebenfalls ein algebraischer Abschluss fuer [mm] $K(\alpha)$ [/mm] und $L$ ist).
Bleibt nun die Frage, was man in Charakteristik [mm] $\neq [/mm] 0$ macht. Ich geh jetzt aber erstmal Mittagessen bevor ich darueber weiter nachdenke 
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> und zum anderen heißt ja auch dies nicht
> unmittelbar, dass das char Polynom gleich eine Potenz des
> minimalpolynoms sein muss.
Dazu hab ich jetzt endlich ne vernuenftige (d.h. insbesondere kurze und allgemeingueltige) Loesung
Und zwar ist der Trick, dass das Minimalpolynom ueber $K$ unzerlegbar ist! Da das char. Poly. die gleichen unzerlegbaren Faktoren hat wie das Minimalpolynom, hat es also nur das Minimalpolynom als Primfaktor! Und damit ist es eine Potenz von diesem...
So ists gleich viel einfacher *g*
LG Felix
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